Aniq integral. Aniq integralning xossalari. Yuzani va jismni aylanishdan hosil bo’ladigan hajmni hisoblash formulasi

Isbot: Aniq integral ta’rifi va limit xossasiga asosan


.
III xossa: Agar [а, b] kesmada f(x)0 va integrallanuvchi bo‘lsa, unda uning aniq integrali uchun
(16)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Bu holda integral yig‘indida f(ξ_i)≥0, Δx_i>0 (i=1,2,3,∙∙∙, n) bo‘lgani uchun va aniq integral ta’rifi hamda limit xossasiga asosan
,
ya’ni (16) tengsizlik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
IV xossa: Agar [а, b] kesmada f(x) va g(x) funksiyalar integrallanuvchi hamda f(x)≤ g(x) bo‘lsa, unda ularning aniq integrallari uchun
(17)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: II xossaga asosan h(x)=g(x)–f(x) funksiya berilgan [а,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi. Bundan tashqari f(x)≤g(x) shartdan h(x)0 ekanligi kelib chiqadi. Unda, IV va II xossalardan foydalanib, (17) tengsizlikka quyidagicha erishamiz:

.
V xossa: Agar a<c<b va f(x) funksiya [a,c] , [c,b] kesmalarda
integrallanuvchi bo‘lsa, unda u [a,b] kesmada ham integrallanuvchi va
(18)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Bu xossani qat’iy matematik isbotini keltirmasdan, uni integralning
geometrik mazmuniga asoslangan (71-rasmga qarang) talqinini keltirish bilan chegaralanamiz.

71-rasm

(18) tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi integral y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aACc egri chiziqli trapetsiyaning S₁ yuzasini, ikkinchi integral cCBb egri chiziqli trapetsiyaning S₂ yuzasini ifodalaydi. (18) tenglikning chap tomondagi integral esa y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasini ifodalaydi. Bu yerda S=S₁+S₂ tenglik o‘rinli va uni integrallar orqali ifodalab, (18) tenglikni hosil etamiz.
Izoh: III xossani ifodalovchi (18) tenglik c<a va c>b holda ham o‘rinli bo‘ladi. Masalan, c>b holda a<b<c bo‘lgani uchun (18) tenglik yuqoridagi mulohazalar va (12) tenglikka asosan quyidagicha keltirib chiqariladi:

.