Аллакова Дилбар

a_m а₁ , a_m a₂ , ... , a_m a_{m- 2} a_m a_m-1
bunda m ta satr va m-1 ta ustun bor. Demak, A_m ² = m(m-1).

Endi m elementdan 3 tadan to'zilgan o'rinlashtirishlarni hosil qilish uchun m elementdan 2 tadan m(m-1) ta o'rinlashtirishlarni yozib olib ularning har birining yoniga qolgan m-2 ta elementlarni yozib chiqamiz:

а₁ a₂ a₃ , а₁ a₂ a₄ , ... , а₁ a₂ a_m-1 , а₁ a₂ a_m

a₁ а₃ a₂ , a₁ a₃ a₄ , ... , a₁ a₃ a_m-1 , a₁ a₃ a_m

......................................................... ................................

a_m a_m-1 а₁ , a_m a_m-1 a₂ , ... , a_m a_m-1 a_{m- 3} , a_m a_m-1 a_{m- 2 .}

Bu yerda m(m-1) ta satr va m-2 ta ustun bor. Demak, A_m³ = m(m-1)(m-2).

Bu jarayonni n marta takrorlab (1) formulani hosil qilamiz.

Misol: A₅ ³ = 5.4.3=60

2. O'rin almashtirishlar. m ta elementdan to'zilgan o'rin almashtirishlar deb har birida m ta element bo'lib, bir-biridan faqat elementlarining joylashish tartibi bilangina farq qiluvchi birikmalarga aytiladi.

m ta elementdan to'zilgan o'rin almashtirishlar soni P_m (permutation) so'zining bosh harfi bilan belgilanadi.

Ta'rifga ko'ra

P_m= A_m^m = m(m-1) (m-2) ... 3 .2. 1 = m ! . (2)

Shuningdek

A_mⁿ = m(m-1 ) (m-2)... (m-(n-1))= m(m-1)(m-2)... (m-(n-1))(m-n)(m-n-1)...

... 3.2.1 / (m-n)(m-n-1)...2.1 = m ! / (m-n) ! = P_m / P_{m - n} , ya'ni
A_mⁿ = P_m / P_{m - n} . (3)

3. Gruppalashla. m elementdan n tadan to'zilgan gruppalashlar deb har birida n ta element bo'lib, bir-biridan kamida birta elementi bilan farq qiluvchi birikmalarga aytiladi.

m elementdan n tadan to'zilgan gruppalashlar soni C_mⁿ (combination so'zining bosh harfi) bilan belgilanadi. Ta'rifdan C_mⁿ P_n =A_mⁿ. Bundan

C_mⁿ = A_mⁿ / P_n (4)
Demak,

C_mⁿ = m(m-1)(m-2)... (m-(n-1)) / n! . (5)

(3) ва (4) dan

C_mⁿ = P_m / P_{m - n} P _{n .} (6)

(6) dan (2) ga ko'ra

C_mⁿ = m! / n! (m-n)! . (7)
Xossalari :

1⁰. C_mⁿ = C_m^m-n .

Haqikatdan ham (6) C_m^m-n = P_m / P_{m - n} P_m-m+n = P_m / P_{m - n} P _n = C_mⁿ .
2⁰. C_mⁿ + C_mⁿ⁺¹=C_m+1ⁿ⁺¹ .

Isboti.
C_mⁿ + C_mⁿ⁺¹= m(m-1)(m-2)... (m-(n-1)) / n! + m(m-1)(m-2)... (m-(n-1))(m-n)/

/ n!(n+1) = m(m-1)(m-2)... (m-(n-1))(m+1) / (n+1)! = C_m+1ⁿ⁺¹ .
Biz C_m⁰= 1 deb belgilab olamiz.
Nyuton binomi. Bizga o'rta maktablardan ma'lumki

a+b = a+b

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a+b)³ = a³+3a²b +3ab²+b³.

Endi (a+b)ⁿ ni ham shu tarzda yezish mumkin ekanligini isbotlaymiz, ya'ni ushbu tenglik o'rinli:

(a+b)ⁿ = aⁿ+na^n-1b +(n(n-1)/2!) a^n-2b²+(n(n-1)(n-2)/ 3!) a^n-3b³+ .... +b^{n .} (8)

Bu formulani isbotlash uchun, avvalo quyidagi tenglikning ixtiyoriy natural son n uchun o'rinli ekanligini ko'rsatamiz:

(a+b₁) (a+b₂) (a+b₃) .... (a+b_n) = aⁿ+ s₁ a^n-1 + s₂ a^n-2 + s₃ a^n-3 +.... + s_n , (9)

bu yerda

s₁ = b₁+b₂+ ....+b_n

s₂ = b₁ b₂ +b₁ b₃ + .... +b_n-1 b_n

s₃ = b₁ b₂ b₃+ b₁b₂ b₄ + .... + b_{n- 2}b_n-1 b_n (10)

................................................................

s_n = b₁ b₂ ... b_n .



(9) -tenglik n=1 da o'rinli (a+b₁)¹ = (a+b₁). Endi faraz qilaylik (9) tenglik n>1 uchun o'rinli bo'lsin. Biz uning n+1 uchun ham o'rinli ekanligini isbotlaymiz. (9) ning ikkala tomonini (a+b_n+1) ga ko'paytiramiz. U holda

(a+b₁) (a+b₂) (a+b₃) .... (a+b_n) (a+b_n+1) =

= aⁿ⁺¹+ S₁ aⁿ + S₂ a^n-1 + S₃ a^n-2 +.... + S_n a + S_n+1 ,

bu yerda

S₁ = s₁+b_n+1 = b₁+b₂+ ...+b_n+b_n+1

S₂ = s₂+ s₁b_n+1 = b₁ b₂ +b₁ b₃ + .... +b_n b_n+1

S₃ = s₃+ s₂b_n+1 = b₁ b₂ b₃+ b₁b₂ b₄ + .... + b_{n- 1}b_n b_n+1

...................................................................................

S_n = b₁ b₂ ... b_n + ... + b₂ b₃ ... b₁ b₂ ... b_n



S_n+1 = b₁ b₂ ... b_n b_n+1 .
Demak (9) formula ixtiyoriy n natural son uchun o'rinlidir.

Agar (9) da b₁ =b₂ = ... =b_n = b deb olsak :

(a+b)ⁿ = aⁿ+ C_n¹a^n-1b + C_n² a^{n- 2} b²+ C_n³ a^n-3b³+ .... + C_nⁿbⁿ (11)

Bunda (5) formuladan foydalansak (8) kelib chiqadi.

(11) ni quyidagicha yozish mumkin :

(a+b)ⁿ = C_n⁰aⁿ+ C_n¹a^n-1b + C_n² a^{n- 2} b²+ C_n³ a^n-3b³+ .... + C_nⁿbⁿ (12)

Ma'lumki C_n^p = C_n^n-p bo'lgani uchun Nyuton binomi formulasidagi boshdan va oxiridan bir xil o'zoqlikda turgan hadlarning koeffisiyentlari (bino-mial koeffisiyentlar) tengdir.

Agar (12) da a=b deb olsak:

2ⁿ = C_n⁰+ C_n¹ + C_n² + C_n³+ .... + C_nⁿ ;

agarda a=1, b= -1 deb olsak: 0 =C_n⁰- C_n¹ + C_n² - C_n³ + .... + C_nⁿ(-1)ⁿ yoki bundan C_n⁰+C_n² + C_n⁴ + C_n⁶ + .... = C_n¹+ C_n³ + C_n⁵ + C_n⁷ + ....,

ya'ni juft o'rindagi binomial koeffisiyentlar yig'indisi tok o'rinda turgan binomial koeffisiyentlar yig'indisiga teng.

Misollar :

(a+b)⁰ = 1 1

a+b = a+b 1 1

(a+b)² = a²+2ab+b² 1 2 1

(a+b)³ = a³+3a²b +3ab²+b³ 1 3 3 1

(a+b)⁴ = a⁴+4 a³b+6a²b²+4ab³+ b⁴ 1 4 6 4 1

(a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³ +5ab⁴+b⁵ 1 5 10 10 5 1

......................................................................... ............................................

Bu yeyilmalardagi binomial koiffisiyentlarni Paskal uchburchagi deb ata-luvchi o'ng tomonda keltirilgan uchburchak yordamida aniqlash mumkin.

Mavzuni mustaxkamlash uchun savollar.
1. Peano aksiomalarini ayting.

2. Matematik induksiya metodining mohiyati haqida gapirib bering.

3. Teoremalar va ularni isbotlash usullari haqida nimalarni bilasiz?

4. Birlashmalar qanday turlarga bo'linadi?

5. m elementdan n tadan (1 n m) to'zilgan o'rinlashtirishlarga ta'rif bering.

6. m elementdan to'zilgan o'rin almashtirishlarga ta'rif bering va ularning sonini hisoblash formulasini yozing.

7. m elementdan n tadan (1 n m) to'zilgan gruppalashlar deb nimaga aytiladi?

8. Nyuton binomi formulasini yezing.

9. Binomial koeffisiyentlar qanday xossalarga ega?

10. Paskal uchburchagi va binomial koyeffisiyentlar orasida qanday bog'lanish bor?

8-MA'RO'ZA