Alisher navoiy nomidagi

n

n

si

i

n

s

(co

r

z

n

n

ϕ

ϕ

+

=

 

Muavr formulasi o’rinli. 

 

Muavr  formulasi  kompleks  sondan  italgan  darajali  ildiz  chiqarish 

masalasini  hal  qilishga  imkon  beradi.  w  kompleks  son  z  kompleks  sonning  n-

darajali 

(

)

N

∈

n

  ildizi  deyiladi,  agar 

z

w

n

=

  bo’lsa.  z  ning  n-darajali  ildizini 

n

z

 orqali belgilaymiz. 

 

Berilgan z kompleks sonning n-darajali  ildizi  bir nechta qiymatlarga ega, 

shuning  uchun 

n

z =  w  yozuv  w  son  shu  qiymatlardan  biri  ekanligini  bildiradi. 

Bitta  mulohaza  davomida 

n

z   ifoda  z  kompleks  son  n-darajali  ildizining  faqat 

bitta qiymatini bildiradi. 

 

Agar  tekstdan  ildizning  aynnan  shu  qiymati  haqida  gapirilayotganligi 

ma’lum bo’lsa, bu haqida alohida eslatilmaydi, masalan, kompleks son modulini 

hisoblashda.  

Agar 

0

≠

+

=

)

n

isi

s

r(co

z

ϕ

ϕ

 bo’lsa, z ning n-darajali ildizi uchun 

)

2

2

(

n

n

isi

n

s

co

r

w

z

n

k

n

κπ

ϕ

κπ

ϕ

+

+

+

=

=

, 

bu  yerda 

1

...,

1

,

0

−

=

n

k

, formula  o’rinli.  Bu  formula z kompleks son  n-darajali 

ildizining n ta har xil qiymatilarini beradi. 

 

1-m i s o l. Hisoblang: 

20

1

3

1









−

+

i

i

. 

 Yechish.  

)

р

n

isi

р

s

(co

i

3

3

2

3

1

+

=

+

, 

р)

n

isi

р

s

(co

i

4

7

4

7

2

1

+

=

−

, 

bo’lganligi sababli  

 

16

=













+

=

























+

=

=























 +

+











 +

=





















−

+

−

+

=









−

+

π

π

π

π

12

140

12

140

2

12

7

12

7

2

4

3

4

3

2

4

4

2

3

3

2

1

3

1

10

20

20

20

20

n

isi

s

co

n

isi

s

co

р

р

n

isi

р

р

s

co

)

р

(

n

isi

)

р

(

s

(co

)

р

n

isi

р

s

(co

i

i

( )

.

1

2

2

2

2

2

2

2

4

7

4

7

2

9

10

10

i

i

n

isi

s

co

−

=









−

=













+

=

π

π

■ 

2-m i s o l. Hisoblang: 

n

б)

n

isi

б

s

co

(

+

+

1

. 

 

 Yechish. 













≤

≤













+

+

+

−

≤

≤













+

=

+

+

булса

агар

n

isi

сos

сos

булса

агар

n

isi

сos

сos

n

isi

сos

π

α

π

π

α

π

α

α

π

α

α

α

α

α

α

2

,

2

2

2

2

2

2

0

,

2

2

2

2

1

,  

(28 (r) mashqqa qarang) bo’lganligi uchun 

π

α

<

≤

0

 bo’lganda   













+

=

+

+

2

2

2

2

)

1

(

n

n

isi

n

s

co

s

co

n

isi

s

co

n

n

n

α

α

α

α

α

, 

π

α

π

2

≤

≤

 bo’lganda esa  

(

)

























+

+













+

−

=

+

+

π

α

π

α

α

α

α

n

n

n

isi

n

n

s

co

s

co

n

isi

s

co

n

n

n

2

2

2

)

2

(

1

. ■ 

3-m i s o l. 

4

16

−

 ildizning barcha qiymatlarini toping. 

Yechish. 

16

−

=

z

 ni trigonometrik shaklga keltiramiz:  

(

)

π

π

n

isi

s

co

z

+

=

−

=

16

16

. 

U holda ildiz chiqarish formulasiga ko’ra  













+

+

+

=

4

2

4

2

2

рк

р

n

isi

рк

р

s

co

w

к

, 

3

,

2

,

1

,

0

=

k

. 

Natijada,  

2

2

4

4

2

0

i

р

n

isi

р

s

co

w

+

=













+

=

,    

2

2

4

3

4

3

2

1

i

n

isi

s

co

w

+

−

=













+

=

π

π

, 

2

2

4

5

4

5

2

2

i

n

isi

s

co

w

−

−

=













+

=

π

π

,    

2

2

4

7

4

7

2

3

i

n

isi

s

co

w

−

=













+

=

π

π

. ■ 

4-m  i  s  o  l. 

4

3

1

1

i

i

−

+

−

  to’plam  elementlarining  trigonometrik  shaklini 

yozing. 

 

17

Yechish. 













+

=

+

−

π

π

4

3

4

3

2

1

n

isi

s

co

i

 va  























−

+











−

=

−

3

3

2

3

1

π

π

n

isi

s

co

i

 bo’lganligi uchun 













+

=

























+

+













+

=

−

+

−

π

π

π

π

π

π

12

13

12

13

2

2

3

4

3

3

4

3

2

2

3

1

1

n

isi

s

co

n

isi

s

co

i

i

. 

Natijada, 

 













+

+

+

=

−

+

−

48

24

13

48

24

13

2

1

3

1

1

8

4

κπ

π

κπ

π

n

isi

s

co

i

i

,  

.

,

,

,

3

2

1

0

=

κ

■ 

 

Muavr formulasi ba’zi trigonometrik ifodalarni almashtirishda qulayliklar 

yaratadi.  

 

5-m i s o l. 

ϕ

5

tg

 ni 

ϕ

tg

 orqali ifodalang. 

 

Yechish. Darajaga ko’tarish formulasiga ko’ra 

(

)

5

sin

cos

5

sin

5

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

i

i

+

=

+

. 

 

Nyuton binom formulasini qo’llab, quyidagini hosil qilamiz:  

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

5

4

3

2

2

3

4

5

5

10

10

5

5

5

in

s

i

in

s

s

co

in

s

s

ico

in

s

s

co

in

s

s

ico

s

co

in

s

i

s

co

+

+

−

−

−

+

=

+

 

chunki 

i

,  i

-i,    i

,  i

-

i

=

=

=

=

5

4

3

2

1

1

.  Mos  ravishda  haqiqiy  va  mavhum 

qismlarini tenglashtirib,  

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

5

2

2

4

4

2

3

5

10

5

5

,

5

10

5

in

s

in

s

s

co

in

s

s

co

in

s

in

s

s

co

in

s

s

co

s

co

s

co

+

−

=

=

+

−

=

 

munosabatlarni hosil qilamiz. Bulardan   

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

4

2

5

3

4

2

3

5

5

2

2

4

5

10

1

10

5

5

10

10

5

5

tg

tg

tg

tg

tg

in

s

s

co

in

s

s

co

s

co

in

s

in

s

s

co

in

s

s

co

tg

+

−

+

−

=

+

−

+

−

=

. 

Bu yerda biz kasrning surat va maxrajini 

ϕ

5

s

co

 ga bo’ldik. ■ 

 

6-m  i  s  o  l. 

ϕ

5

in

s

  ni  kaðrali  argumentlarning  trigonometrik  funksiyalari 

orqali chiziqli ifodalang. 

Yechish. 

ϕ

ϕ

in

s

i

s

co

z

+

=

 bo’lsin, u holda 

ϕ

ϕ

sin

i

cos

z

-1

−

=

, 

ϕ

ϕ

k

isin

k

cos

z

k

+

=

, 

ϕ

ϕ

k

isin

-

k

cos

z

k

=

−

,  

2

-1

z

z

cos

+

=

ϕ

, 

i

z

-

z

sin

-1

2

=

ϕ

, 

2

-k

k

z

z

k

cos

+

=

ϕ

, 

i

z

z

k

sin

-k

k

2

−

=

ϕ

.  

Bularga ko’ra  

(

) (

) (

)

=

+

−

=

−

+

−

−

−

=

=

−

+

−

+

−

=







 −

=

−

−

−

−

−

−

−

i

in

s

i

in

s

i

in

s

i

i

z

z

z

z

z

z

i

z

z

z

z

z

z

i

z

z

in

s

32

20

3

10

5

2

32

10

5

32

5

10

10

5

2

1

3

3

5

5

5

3

1

3

5

5

1

5

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

 

 

18

=

.

16

10

3

5

5

ϕ

ϕ

ϕ

in

s

in

s

in

s

+

−

 ■ 

 

Xuddi  shunga  o’xshash  yo’l  Bilan  istalgan 

ϕ

ϕ

κ

m

in

s

s

co

  ifodani  karrali 

argumentning trigonometrik funksiyalari orqali chiziqli ifodalash mumkin. 

 

M A S H Q L A R 

 

32. Hisoblang: a) 

20

1

3

1









−

+

i

i

; b) 

24

2

3

1









−

−

i

;  

c) 

(

)

( )

(

)

( )

20

15

20

15

1

3

1

1

3

1

i

i

i

i

+

−

−

+

−

+

−

; d) 

( )

( )

N

∈

−

+

−

+

n

i

i

n

n

    

,

1

1

1

2

1

2

; e) 

(

)

4

1 i

tg

z

−

=

;   

f) 

(

)

4

2

i

tg

−

; g) 

5

5

6

1

5

6























 +

+

π

π

s

co

i