9-Mavzu. O‘lcham va bazis. Turli bazislarda vektor koordinatalari orasidagi bog‘lanish. F maydon ustidagi V vektor fazoda vektorlarning cheqli yoki cheksiz a tizimi berilgan bo`lsin. T a ` r I

3-t e o r e m a. CHekli o`lchamli V vektor fazodagi xar qanday chiziqli erkli tizim bu fazoning bazisi bo`lguncha to`ldirilishi mumkin.
Isbot. V ning o`lchami n va undagi chiziqli erkli tizim bo`lsin. U xolda . Agar bo`lsa, u xolda bu tizim bazis bo`ladi. Agar bo`lsa, u xolda chizikli fazo o`lchamining va undagi bazisning ta`riflariga ko`ra bu tizim bazis bo`lmaydi. Demak, 2-teoremaga asosan shunday vektor mavjudki, u vektorlar orqali chiziqli ifodalanmaydi. Ushbu tizim chiziqli erkli. Xaqiqatan, agar bo`lsa, u xolda (chunki aks xolda vektor vektorlar orqali chiziqli ifodalanardi). Bundan tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikdan esa vektorlar chiziqli erkli bo`lgani uchun Agar bo`lsa, tizim bazis bo`ladi. Aks xolda, ya`ni bo`lsa, vektorlar orqali chiziqli ifodalanmaydigan vektor mavjud bo`ladi.
YUqoridagi muloxazalarni yana ishlatib tizimning chiziqii erkli ekanligini olamiz va xokazo. Bu muloxazalarni marta ishlatib, tizimni o`z ichiga oluvchi g`fazoning bazisini olamiz.
BAZIS O`ZGARGANDA KOORDINATALARNING
ALMASHINISHI


F maydon ustidagi chiziqli fazoda ikkita va bazislar berilgan bo`lsin. Ikkinchi bazis vektorlarni birinchi bazis vektorlar orqali ifodalaymiz:

Bu ifodadagi matritsa bazisdan bazisga o`tish matritsasi deyiladi. O`tish matritsasi doim maxsusmas va teskari matritsa bazisdan bazisga o`tish matritsasidir (bularni mustaqil isbotlang).
V da ixtiyoriy x vektor olingan bo`lib, uning birinchi bazisdagi koordinatalari, ikkinchidagi, ya`ni bo`lsin. U xolda

Bundan

(1) va (2) formulalarni solishtirish ko`rsatadiki, ikkinchi bazisdagi koordinatalarni birinchi bazisdagi koordinatalarga almashtirishdagi koeffitsientlar mat-ritsasi transponirlash bilangina birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o`tish matritsasidan farq qiladi.