9-Mavzu. O‘lcham va bazis. Turli bazislarda vektor koordinatalari orasidagi bog‘lanish. F maydon ustidagi V vektor fazoda vektorlarning cheqli yoki cheksiz a tizimi berilgan bo`lsin. T a ` r I

9-Mavzu. O‘lcham va bazis. Turli bazislarda vektor koordinatalari orasidagi bog‘lanish.
F maydon ustidagi V vektor fazoda vektorlarning cheqli yoki cheksiz A tizimi berilgan bo`lsin.
T a ` r i f. Agar A tizimning n ta elementdan iborat chiziqli erkli qism tizimi mavjud va vektordan iborat xar qanday qism tizimi chiziqli bog`langan bo`lsa, n soni A tizimning rangi deyiladi (bu erda rang so`zi ingliz range so`zidan olingan bo`lib, bu erda daraja so`ziga yaqin ma`noni bildiradi).
Agar xar qanday n natural son uchun A tizimda n ta elementdan iborat chiziqli erkli qism tizim mavjud bo`lsa, A tizim cheksiz rangga ega deyiladi.
Agar A tizimning rangi n bo`lsa, uning n ta vektordan iborat chiziqli erkli qism tizimi A tizimning bazisi deyiladi.
1-teorema. A tizimning rangi n bo`lsin. A tizimdan olingan xar qanday vektor uning bazisi orqali yagona usulda chiziqli ifodalanadi.
Isbot. Ushbu qism tizim A tizimning bazisi va bo`lsin. U xolda da vektordan iborat x qism tizim chiziqli bog`langan bo`ladi, ya`ni kamida biri nol’dan farqli skalyarlar mavjudki, Agar bo`lsa edi, bajariladi. Bundan chunki chiziqli erkli. Bu esa skalyarlarning kamida biri nol’dan farqli degan shartga zid. Demak Bundan ya`ni x vektor bazis orqali chiziqli ifodalanadi.
Agar x vektor bu bazis orqali ikki xil chiziqli ifodalangan bo`lsa, tenglik o`rinli bo`ladi. Bundan esa vektorlar chiziqli erkli bo`lgani uchun tenglik, ya`ni kelib chiqadi.
V chiziqli fazoning rangi uning o`lchami deb ataladi va ko`rinishda belgilanadi. Agar bo`lsa, V chekli o`lchamli, aks xolda esa cheksiz o`lchamli deyiladi.
V chekli o`lchamli bo`lib, uning biror bazisi berilgan bo`lsin. U xolda 1-teoremaga asosan xar qanday vektor bu bazis orqali bir qiymatli chiziqli ifodalanadi:
Bu ifodadagi koeffitsientlar x vektorning bazisidagi koordinatalari deb ataladi.