9-Ma’ruza. Matritsa tushunchasi. Matritsani elementar almashtirishlar. Matritsanu ustun va satr ranglari. Ushbu tenglik berilgan bo`lib, bu tenglikdagi xaqiqiy sonlar ma`lum, xaqiqiy sonlar esa noma`lum bo`lsa


-teorema. to`plam biektsiyalarning kom



Download 1,23 Mb.
bet6/13
Sana11.02.2022
Hajmi1,23 Mb.
#442819
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
Bog'liq
9-Maruza darsi (1)

2-teorema. to`plam biektsiyalarning kompozitsiyasi (ya`ni elementar almashtirishlarning ketma-ket bajarilishi) amaliga nisbatan guruxni xosil qiladi. Isbot. Aks ettirishlar, xususan, biektsiyalar uchun assotsiativlik qonuni o`rinli (3-§, 1-teorema). Demak, ular uchun umumlashgan assotsiativlik qonuni xam o`rinli (9-§, 1-teorema). Bunga ko`ra elementar almashtirishlarning ikkita va chekli kompozitsiyalarning ko`paytmasini xam ko`rinishda, ya`ni elementar almashtirilishlarning chekli sondagi kompozitsiyasi ko`rinishida yozish mumkin. Demak

da assotsiativlik qonunining bajarilishi uning to`plamlar aks ettirishlarining kompozitsiyasi uchun bajarilishidan kelib chiqadi.
Agar ning (1) formula bilan berilgan (II)-tur almashtirishida deb olsak, to`plamning birlik almashtirishini olamiz. Bundan Ms,p ning birlik almashtirishi ga tegishli ekanligi kelib chiqadi.
Endi ixtiyoriy elementni olamiz. Bu erda xar bir elementar almashtirish bo`lgani va xar bir elementar almashtirishga teskari almashtirish mavjud bo`lib, u xam elementar almashtirish bo`lgani sababli Bu element ga teskari. Xaqiqatan ushbu

ko`paytma assoqiativlik xossasiga ko`ra birlik elementga teng.
Bu bilan ning gurux ekanligi ko`rsatildi.
gurux bu aslida guruxda satrlarning barcha elementar almashtirishlari xosil qilgan qism guruxdir.
SHunga o`xshash ustunlar uchun gurux xam kiritiladi.
Natija. matritsalar berilgan bo`lsin. Agar Amatritsadan V matritsaga satrlarning (ustularnin) chekli sondagi elementar almashtirishlari orqali o`tish mumkin bo`lsa, u xolda V dan A ga xam chekli sondagi elementar almashtirishlar orqali o`tish mumkin.
I s b o t. Faraz qilaylik, A dan V ga satrlarning elementar almashtirishlari orqali o`tish mumkin bo`lsin. U xolda


ya`ni

1-teoremaga asosan lar xam elementar almashtirishlar bo`lib, 2-teoremaga asosan

ya`ni elementar almashtirishlar orqali V dan A ga o`tish mumkin. Ustunlar uchun muloxaza shunga o`xshash.
3-teorema. Matritsasa trlarining (ustunlarining) rangi uning satrlari (ustunlari) ustida chekli son marta elementar almashtirishlar bajarilganda o`zgarmaydi, ya`ni guruxning guruxning) ta`siriga nisbatan invariantdir.
Isbot. matritsaning satrlari ustida ixtiyoriy elementar almashtirishlar bajarilgan bo`lsin:
Ushbu

tenglikni isbotlashimiz kerak. Dastlab bu tenglikni xolda isbotlaymiz.
A ning satrlari ustida ixtiyoriy f elementar almashtirish bajarilgan bo`lsin. Agar u (I) tur elementar almashtirish bo`lsa, u xolda A matritsa bilan f(A) matritsa bir xil satrlarga ega bo`lgani uchun (ular faqatgina satrlarning o`rinlari bilan farq qilgani uchun) ularning ranglari teng Agar A ga (II) tur f elementar almashtirish ta`sir qilgan bo`lsa, u xolda A da shunday r va q satrlar mavjudki, A bilan f(A) larning p-satrlaridan boshqa barcha satrlari bir xil va f(A) ning r-satri A ning r- va q-satrlarining chiziqli kombinatsiyasidir. Demak, bundan 14-§, 4-teoremaga ko`ra Ikkinchi tomondan 2-teoremaga ko`ra f^1 mavjud va u xam (II) tur elementar almashtirishdir. Uning uchun yuqoridagi muloxazalarga asosan . Agar bu tengsizlikda A sifatida f(A) matritsa olinsa:

Bundan va yuqoridagi tengsizlikdan tenglik olinadi. Bu bilan teorema da isbotlandi.
Endi teoremani elementar almashtirish uchun o`rinli deb faraz qilaylik. U xolda teoremaning va uchun o`rinliligiga asosan

Ustunlar uchun teoremaning isboti shunga o`xshash. Quyidagi ikkita xossaga ega bo`lgan matritsaga satrlariga (ustunlariga) nisbatan zinapoya matritsa deyiladi:

  1. Agar i-satr (ustun) nollardan iborat bo`lsa, u xolda - satr (ustun) xam nollardan iborat.

  2. Agar matritsaning i-va satrlarining (ustunlarining) xar birida nol’dan farkli elementlar bo`lib, i-satrdagi (ustundagi) chapdan (yuqoridan) birinchi farqli element - raqamli ustunda (satrda) va -satrdagi (ustundagi) chapdan (yuqoridan) birinchi nol’dan farqli element - (satrda) uchrasa, u xolda tengsizlik o`rinli.

Xususan, nol’ matritsa satrlariga nisbatan xam ustunlariga nisbatan xam zinapoya matritsadir.
Keltirilgan ta`rif satrlariga (ustunlariga) nisbatan zinapoya matritsada noldan farqli satrlardagi (ustunlardagi) chapdan (yuqoridan) birinchi nol’dan farqli elementdan chapdagi (yuqoridagi) va pastdagi (o`ngdagi) elementlar nol’ga teng bo`lishini ko`rsatadi.
Satrlarga nisbatan zinapoya matritsada nol’dan farqli satrlar r ta bo`lsin. U xolda bu satrlarga mos bo`lgan raqamli ustunlarni satrlarga nisbatan zinapoya matritsaning bosh ustunlari deymiz. Satrlarga nisbatan zinapoya matritsaning ta`rifiga ko`ra
4-teorema. Xar qanday matriqani satrlarning (ustunlarning) chekli sondagi elementar almashtirishlari yordamida satrlarga (ustunlarga) nisbatan zinapoya matritsaga aylantirish mumkin.
Isbot. Ixtiyoriy matritsa berilgan bo`lsin. Teoremani S satrlarning soni bo`yicha matematik induktsiya usuli bilan isbotlaymiz. Agar matritsa faqat bitta satrdan iborat bo`lsa, u satrlarga nisbatan zinapoya matritsa bo`ladi. Demak S 1 bo`lsa, teorema o`rinli.
Endi xolni ko`ramiz va teoremani (S-1) tasatrli matritsalar uchun o`rinli deb faraz qilamiz. Agar A matritsa nol’ matritsa bo`lsa, u zinapoya matritsa.
A nol’dan farqli matritsa bo`lsin. U xolda unda nol’dan farqli element mavjud. Demak matritsada nol’dan farqli ustun mavjud. Birinchi nol’dan farqli ustun -ustun bo`lib, undagi nol’dan farkli element r-satrda yotsin. Birinchi va r-satrlarning o`rnini almashtirib (I) tur elementar almashtirish), birinchi satrining -ustunida yotuvchi elementi nol’dan farkli bo`lgan quyidagi matritsaga kelamiz:

Agar xar bir uchun birinchi satrni songa ko`paytirib, k-satrga qo`shsak (II)-tur elementar almashtirishlar), quyidagi matritsaga kelamiz:

Endi A" matritsada birinchi satrni tashlab, qolgan S-1 satrlardan iborat matritsani S orqali belgilaymiz. Bu S matritsaning birinchi ta ustuni nol’ga teng.
S matritsa S-1 ta satrga ega bo`lgani uchun unga matematik induktsiyaning farazini qo`llab, chekli sondagi elementar almashtirishlar yordamida satrlarga nisbatan zinapoya ko`rinishga ega bo`lgan D matritsaga keltirish mumkin. S ustidagi satrlarning elementar almashtirishlari A" matritsaning xam elementar almashtirishlari bo`lib, bunda birinchi satr o`zgarmaydi. Xosil bo`lgan D matritsaning xam birinchi ta ustuni nollardan iborat bo`ladi.
D matritsaning nol’dan farqli r-1 ta satri bo`lib, bu satrlardagi nol’dan farqli birinchi elementlar mos ravishda m2, ..., mr ustunlarda yotgan bo`lsin. U xolda matritsaning birinchi ta ustuni nollardan iborat bo`lgani uchun . Natijada birinchi satrdan pastga D matritsaning satrlari yozilsa, xosil bo`lgan S ta satrli matritsa satrlarga nisbatan zinapoya matritsa bo`lib, u A matritsadan chekli sondagi elementar almashtirishlar orqali xosil qilingan bo`ladi.
Ustunlar uchun teorema shunga o`xshash isbotlanadi.
5-teorema. Satrlarga (ustunlariga) nisbatan zinapoya matritsa satrlarining (ustunlarining) rangi nol’dan farqli satrlarining (ustunlarining) soniga teng.
Isbot. matritsa satrlariga nisbatan zinapoya bo`lib, r ta nol’dan farqli satrga ega va bosh ustunlarining raqamlari bo`lsin:

bo`lsin deb faraz qilamiz. Bundan teoremani isbotlash uchun qolgan satrlar nol’ bo`lgani tufayli kelib chiqishini ko`rsatamiz. Agar bo`lsa, ushbu tenglikni, ya`ni tengliklarni olamiz. Bundan bo`lgani uchun tenglikni olamiz. endi r-1 xolda r-1 ta nol’dan farqli satrlarga ega va satrlariga nisbatan zinapoya bo`lgan xar qanday V matritsa uchun tengliqdan doim kelib chiqsin deb faraz qilamiz. Ushbu tenglikdan

tengliklar tizimini olamiz. Bularning birinchisidan bo`lgani uchun tenglikni olamiz va tenglikka kelamiz. satrlarning o`zi r-1 satrli zinapoya matritsa xosil qilgani uchun, induktsiya faraziga ko`ra . Bu va tengliklar satrlarning chiziqli erkliligini ko`rsatadi, ya`ni
4- va 5-teoremalar biror matritsa satrlarining (ustunlarining) rangini xisoblash uchun uni elementar almashtirishlar orqali zinapoya ko`rinishga keltirish kifoya ekanligini ko`rsatadi.
Agar kvadrat matritsa bo`lib, diagonal ko`rinishga ega bo`lsa, 5-teoremaga asosan uning satrlarining (ustunlarining) rangi noldan farqli diagonal elementlarining soniga teng.
6-teorema. Satrlariga (ustunlariga) nisbatan zinapoya matritsa ustunlarining (satrlarining) rangi nol’dan farqli satrlarining (ustunlarining) soniga teng.
I s b o t. Zinapoya A matritsa (2) ko`rinishga ega bo`lsin. Nol’dan farqli satrlar r ta bo`lgani uchun uning ustunlarini r -o`lchamli vektorlar deb qarash mumkin.
bosh ustunlarning chiziqli erkli ekanligini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik biror sonlar uchun bo`lsin. U xolda

Bu erda bo`lgani uchun 5-teoremaga o`xshash muloxazalarni ishlatib tengliklarni olamiz, ya`ni bosh ustunlar chiziqli erkli. Bundan va 14-§ dagi 4-teoremaning 2-natijasiga asosan ekanligi kelib chiqadi.
Satrlarning rangi uchun teoremaning isboti shunga o`xshash.
Natija. Satrlariga (ustunlariga) nisbatan zinapoya bo`lgan xar qanday matritsa satrlarining rangi ustunlarining rangiga teng.
I s b o t. Agar satrlariga nisbatan zinapoya matritsaning nol’dan farqli satrlari soni g ga teng bo`lsa, u xolda 5- va 6-teoremalarga asosan .
Agar matritsaning elementlari matritsaning elementlari bilan ushbu tengliklar bilan bog`langan bo`lsa, ya`ni V ning V1,V2,...,Vs satrlari mos ravishda A ning A1, A2, ..., As ustunlariga teng bo`lsa, V matritsa A ga nisbatan transponirlangan deyiladi va AT kabi belgilanadi. Ravshanki, xar qanday A matritsa uchun
.
7-teorema. Matriwa satrlarining (ustunlarining) rangi matritsa transponirlanganda o`zgarmaydi, ya`ni xar qanday R matritsa uchun

Download 1,23 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish