9 3-§. Фазода аффин координаталар системасини алмаштириш

3-§. Фазода аффин координаталар системасини алмаштириш.
Аффин координаталарни алмаштириш
Фазода иккита -ески, -янги аффин координаталар системалари берилган. Фазода ихтиёрий нуқта олсак, унинг эски системадаги координаталар билан, шу нуқтанинг янги системадаги координаталар орасидаги боғланишни аниқлаш керак. Янги координаталар системасининг боши нуқта ва координата векторлари эски системага нисбатан берилган бўлсин, яъни:
(11)

Векторларни қўшишдаги учбурчак қоидасига кўра , шунинг учун (7-чизма)
, (12)
(11) даги ва ларнинг ифодаларини (12) га қўйиб, ўнг ва чап томондаги мос коеффитсиентларни тенглаштириб, қуйидагиларга эга бўламиз:
(13)
нуқтанинг эски системасидаги координаталари лар янги системадаги координаталар орқали (13) формулалар орқали ифодаланади. (13) формула аффин координаталар системасини алмаштириш формуласи дейилади. Бу алмаштириш коеффитсиентларидан
(14)
матритса тузилган.
векторларнинг координаталаридан тузилган
(15)
матритсани олайлик. Бу матритсани эски базисдан янги базисга ўтиш матритсаси дейилади. Бу матритсанинг детерминанти
(15^ъ)
чизиқли эркли векторлар бўлса, у ҳолда .
Агар бўлса, алгебрадан маълум, детерминантнинг битта ёъли қолган ёъллари орқали чизиқли ифода қилинади. Демак, ва векторлар компланар бўлади, бу эса зид натижа. (14) ва (15) матритсаларни солиштириб, матритса матритсани транспонирлаш билан ҳосил қилинган. Демак, матритса детерминанти ҳам нолга тенг эмас.
Шунинг учун (13) тенгламани ларга нисбатан бир қийматли эчиб, нуқтанинг янги координаталарини шу нуқтанинг эски координаталари орқали ифодалаймиз, яъни:
(16)
Хусусий ҳоллар:
И ҳол. Аффин координаталар системаларининг бошлари турли нуқталарда бўлиб, базис векторлари мос равишда коллинеар бўлсин. (8-чизма)




(17)
(13) ва (17) ларга эътибор берсак, ушбу

(18)
формулага эга бўлфмиз. Бу формулани координаталар системасини параллел кўчириш формуласи дейилади.
ИИ ҳол. эски ва янги системаларнинг координата бошлари бир нуқтада бўлсин, яъни бўлсин, у ҳолда (13) дан
(19)
формулага эга бўламиз.
Бир аффин координаталар системасини иккинчи аффин координаталар системасига ўтказиш формуласи (13)
( )
(12) параметрга боғлиқ.