8-mavzu. Nyuton binomi. Binomial koeffiesientlarning xossalari. Rеja: Nyuton binomi haqida umumiy ma'lumotlar. Binomial koeffitsiyentlarning xossalari. Paskal uchburchagi. Tayanch

Muammoli topshiriq va masalalar

1. 
   Binomial koeffitsientlarning xossalaridan foydalanib quyidagi formulalarni isbotlang:
   

a) 1²  2²  ...  m²  ^{m(m 1)(2m 1)} ,

6

b) 1³

 2³

 ...  m³ 

m² (m  1)² _.

4

2. 
   n dona bir xil sharlar orasidan toq sondagi, tanlash imkoniyatlari sonlarini aniqlang.
   

n  2 bo„lganda esa juft sondagi sharlarni

3. 
   Binomial koeffitsientlarning quyidagi xossalarini isbotlang:
   

n

1. 
   _C^k  C^{k 1} ,
   

r

r k

n1

_kC  n2 ,
n

2. 
   
   n
   k n1
   

k 1

_k1 C  0 ,
n


n
d) ^{k k}

k 1
e) ^{n!  nn  C1 (n 1)n  C 2 (n  2)n  C3 (n  3)n  ...}  (1)^n2C^n2 2ⁿ  (1)^n1C^n1 ( n N )

^{n n n} n n
f) ^{nm  C1 (n 1)m  C 2 (n  2)m  ...}  (1)^n3C^n2 2^m  (1)^n2C^n1 , ^{m  n} , ( ^{m, n  N} ).

^{n n} n n

4. 
   Quyidagi yig„indilarni hisoblang:
   

a) C⁰  2C¹  3C ² ...  (n 1)C ⁿ ,

n n n n
b) C ²  2C³  3C ⁴ ...  (n 1)C ⁿ ,

n n n n
d) C⁰  3C¹  5C ² ...  (2n 1)C ⁿ .

n n n n

5. 
   Binomial koeffitsientlarning yuqorida keltirilgan xossalaridan farqli birorta xossasini topishga harakat qiling.
   

6. 
   Ixtiyoriy chekli A to„plamning juft quvvatli qism to„plamlari to„plamining quvvati shu A to„plamning toq quvvatli qism to„plamlari to„plamining quvvatiga tengligini isbotlang.
   
7. 
   Quvvati 100ga teng bo„lgan to„plamning 40 elementli qism to„plamlari soni bilan shu to„plamning 60 elementli qism to„plamlari sonini solishtiring.
   
8. 
   Figurali sonlarning Paskal uchburchagidagi o„rnini aniqlang.
   
9. 
   Paskal uchburchagi yordamida ixtiyoriy k - tartibli figurali sonlarning dastlanki ⁿ tasi yig„indisini hisoblash formulasini toping va bu formulani matematik induksiya usuli yordamida isbot qiling.
   

10. 
    Paskal uchburchagidan foydalanib
    

11ⁿ

( n  N ) ifodaning qiymatini hisoblash

formulasini keltirib chiqaring va bu formulani isbot qiling.

11. 
    Paskal uchburchagining ixtiyoriy n - satridan yuqorida joylashgan elementlari yig„indisini hisoblash formulasini ifodalang va bu formulani isbot qiling.
    
12. 
    Paskal uchburchagining bir necha o„n qatorini yozib, undagi ikkiga, uchga, beshga qoldiqsiz bo„linadiganlarini ajrating.
    
13. 
    Paskal uchburchagining 256- qatorida qancha toq son borligini aniqlang.
    

14. 
    Paskal uchburchagidan foydalanib
    

sinnx va

cos nx

ifodalarni

sin x va

cos x

orqali

ifodalash formulalarini keltirib chiqaring.

15. 
    Paskal uchburchagini sinchkovlik bilan tekshirib, undagi sonlarning dastlabki bir necha tub sonlarga (masalan, 2, 3, 5, 7, 11) bo‟linadiganlarining o‟rinlarini aniqlang.
    
16. 
    Paskal uchburchagidagi juft va toq sonlarning joylashuvini tekshiring.
    
17. 
    Paskal uchburchagining kitobda bayon qilinmagan xossalarini topishga urinib ko„ring.
    

Mustaqil ishlash uchun savollar

1. 
   Paskal uchburchagi deganda nimani tushunasiz?
   
2. 
   Paskal uchburchagining qanday xossalarini bilasiz?
   
3. 
   B. Paskalgacha Paskal uchburchagidan foydalangan sharq va g„arb olimlaridan kimlarni bilasiz?
   
4. 
   Nyuton binomi formulasini qanday qo„llash mumkin?
   
5. 
   Nyuton binomi formulasini Isaak Nyutondan oldin kimlar qo„llagan?
   
6. 
   Nima uchun binomial koeffitsientlarlarning xossalari Paskal uchburchagining xossalari ham hisoblanadi?
   
7. 
   Nyuton binomi formulasini kombinatorik tahlil yordamida isbot qilganda qanday tushunchalar qo„llaniladi?
   
8. 
   Koshi ayniyatining kombinatorik tushunchalarga asoslangan isbotini bilasizmi?
   
9. 
   Nima uchun gruppalashlar sonlarini binomial koeffitsientlar deb ham atashadi?
   
10. 
    Nima uchun 7- xossa 8- xossaning xususiy holi bo„ladi?
    
11. 
    Binomial koeffitsientlarlarning ushbu kitobda bayon etilmagan yana qanday xossalarini bilasiz?