8-amaliyot mashg`ulotlar. Chegaralangan va uzluksiz chiziqli funksionallar. Operatorlar fazosi. Operatorning normasi

Misol- 2. fazoda ga ko‘paytirish operatorini, ya’ni
(8)
operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, normasini toping.
Yechish. operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Uzluksiz funksiyalarning ko‘paytmasi uzluksiz ekanligidan operatorning aniqlanish sohasi ekanligi kelib chiqadi. Endi operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz.

Bu tengsizlikdan operatorning chegaralangan ekanligi va kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan, agar desak, u holda

ni olamiz. Yuqoridagilardan kelib chiqadi.
Xuddi shunday ko‘rsatish mumkinki, Hilbert fazosida ham (8) tenglik bilan aniqlangan operator chiziqli chegaralangan bo‘lib, normasi 1 ga teng bo‘ladi.
Misol-3. Endi fazoda ko‘paytirish operatorini, ya’ni
(9)
operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, normasini toping.
Yechish. Ixtiyoriy uchun ekanligini ko‘rsatamiz:
(10)
Bu munosabatlardan ekanligini olamiz. Endi uning chiziqli ekanligini ko‘rsatamiz. operatorning aniqlanishiga ko‘ra

Demak, chiziqli operator ekan. Uning chegaralangan ekanligi (9) tengsizlikdan kelib chiqadi. Bundan tashqari (10) tengsizlikdan ekanligi ham kelib chiqadi. operatorning normasi ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun fazoda normasi 1 ga teng bo‘lgan ketma-ketlikni olamiz. operatorning aniqlanishiga ko‘ra ixtiyoriy uchun tenglik o‘rinli. Bundan va (5) dan

munosabat kelib chiqadi. Bu tengsizlik ixtiyoriy da o‘rinli bo‘lgani uchun

ni olamiz. Demak, tenglik isbotlandi.