6-§. 5-mustaqil ish. Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Ishorasi o`zgaruvchi qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Cheksiz ko`paytmalar

 
Berilgan 
qator 



,
1
oraliqda 
tekis 
yaqinlashadi.

 
5.21-masala. 

 

n
n
n
x
n
n







1
2
2
2
1
25
1
2
 
funksional 
qatorning 
yaqinlashish sohasini toping. 

---

226 
 

 
Yaqinlashish sohasini Koshi alomatidan foydalanib, topamiz: 
 

 

1
2
1
25
1
25
1
2
lim
lim
2
2
2
2












x
x
n
n
x
u
n
n
n
n
n
n
n
 
bo`lsa, 
yaqinlashadi. 












5
1
;
5
1
5
1
25
1
2
x
x
x
da 
qator 
yaqinlashadi. Chegaraviy 
5
1


x
nuqtada esa 
1
5
1
2
2








n
n
u
n
bo`lib,
0
1
1
lim
1
lim
2
2














n
n
n
u
n
n
n
qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi 

yaqinlashish sohasi 






5
1
;
5
1
interval ekan.

6.21-masala. Ushbu 






1
3
3
2
3
27
n
n
n
n
x
arctg
x
 
funksional qatorning yaqinlashish sohasini toping. 
 

 
Bu qatorning yaqinlashish sohasini Dalamber alomatidan 
foydalanib, topamiz: 
 
 
1
27
3
3
2
5
2
3
lim
27
3
2
3
27
5
2
3
27
lim
lim
3
3
3
3
3
1
1

































x
x
n
n
x
x
n
x
arctg
x
n
x
arctg
x
x
u
x
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
 
bo`lsa yaqinlashadi. 

3
1

x
yoki 







3
1
;
3
1
x
da yaqinlashadi. 
Chegaraviy nuqtalarda tekshiramiz. 
1) 
3
1

x
bo`lsin 

















3
2
1
0
3
2
1
3
1
*
n
n
arctg
u
n
va 




1
3
2
1
n
n
uzoqlashuvchi 

berilgan qator 
3
1

x
nuqtada uzoqlashadi. 
2) 
3
1


x
bo`lsin 
 
3
2
1
1
3
1
1











n
arctg
u
n
n
va 
 






1
1
3
2
1
1
n
n
n
arctg
qator Lebnis alomatiga ko`ra yaqinlashuvchi 

berilgan qator 
3
1


x
nuqtada yaqinlashuvchi. 

---

227 
Demak, berilgan funksional qatorning yaqinlashish sohasi 





3
1
;
3
1
yarim interval.

7.21-masala. Berilgan 
 
.
3
1
1
1
ln
2








 


n
n
x
n
n
 
qatorning yaqinlashish sohasini toping. 

 
Koshi alomatiga ko`ra 
 
1
3
3
lim
lim
1
ln









 





x
n
x
n
n
n
n
n
x
u
bo`lsa, ya`ni 
0

x
bo`lganda berilgan qator yaqinlashadi. Chegaraviy 
0

x
nuqtada 
   
n
n
u
1
0


bo`lib, 
 




1
1
n
n
qator uzoqlashadi. 
Demak, berilgan qatorning yaqinlashish sohasi 



,
0
oraliqda iborat 
ekan.

 
8.21-masala. 

 
 

.
3
2
ln
2
1
1
2








n
n
x
n
n
funksional qatorning 
yaqinlashish sohasini toping. 

 
Qo`yilgan
 
masalani Dalamber alomatidan foydalanib yechamiz. 
Agar
 
 

 
 


 
 



1
3
1
3
3
ln
3
3
2
ln
2
lim
lim
2
2
2
2
1


















x
x
n
n
x
n
n
x
u
x
u
n
n
n
n
n
n
bo`lsa, 
unda 
berilgan 
funksional 
qator 
yaqinlashadi 



 












;
4
2
;
1
3
1
3
2

x
x
x
to`plamda berilgan qator 
yaqinlashadi. Chegaraviy 
2

x
va 
4

x
nuqtalarda 
     
2
ln
2
1



n
n
x
u
n
bo`lib, 

 






1
2
ln
2
1
n
n
n
sonli qator Koshining integral alomatiga ko`ra 
uzoqlashadi 

Berilgan funksional qatorning yaqinlashish sohasi 

 





;
4
2
;
to`plamdan iborat.

 
9.21-masala. Ta`rifdan foydalanib
 





1
.
13
7
1
n
n
n
n
x
 

---

228 
funksional qatorning 
 
1
;
0
kesmada tekis yaqinlashishini isbotlang 
 


?
0


n
. 
n
ning qanday qiymatlrida qatorning qoldig`i 
 
1
,
0


x
 
uchun 0, 1 dan katta bo`lmaydi? 
 

 
Bu masalani yechish uchun 
0



olinganda ham 
 
N
n
n




0
0
topishimiz kerakki, 
0
n
n


va barcha 
 
1
,
0

x
uchun
 
 






x
u
x
r
n
k
k
n
 
tengsizlik bajarilishi lozim. 
0



son olamiz 
va quyidagi baholashlarni amalga oshiramiz: 
 
 
 
 
 


 
































..
13
2
7
1
13
1
7
1
13
7
1
13
7
1
2
2
1
1
n
x
n
x
n
x
k
x
x
u
x
r
n
n
n
n
n
n
n
k
k
k
n
k
k
n
 












































...
13
4
7
1
13
3
7
1
13
2
7
1
13
1
7
1
13
7
1
1
n
n
n
n
n
x
n
n
0
13
1
7
1
13
1
7
1
13
7
13
7
1
13
7








 


















n
n
n
n
n
x
n
olinganda ham 
 











 

13
1
7
1
0


n
deb olsak, 
0
n
n


va 
 
1
,
0


x
lar 
uchun 
 





n
k
k
x
u
tengsizlik bajariladi. Bu esa 
 





1
13
7
1
n
n
n
n
x
funksional 
qator 
 
1
,
0
kesmada tekis yaqinlashishini anglatadi. 
Masalaning ikkinchi qismini yechish uchun 
1
,
0


deyish kifoya 

 





















3
7
23
13
1
,
0
1
7
1
0

n
barcha 
3

n
lar uchun 
 
1
,
0

x
r
n
bo`ladi. 
 
10.21-masala. 










1
2
1
2
2
n
n
n
n
x
funksional qator uchun uni 
 
3
;
1
 
kesmada majorirlovchi qatorni toping va ko`rsatilgan oraliqda tekis 
yaqinlashishini isbotlang. 
 

 
 
3
,
1


x
uchun 
 




n
n
n
n
n
n
x
x
u
2
1
2
1
2
1
2
2







bo`lib, 


n
n
n
a
2
1
2
1



desak, 











1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
a
sonli qator berilgan qator 
uchun uni majorirlovchi qator bo`ladi. 



1
n
n
a
qator yaqinlashuvchi bo`lgani 

---

229 
uchun Veyershtrass alomatiga ko`ra berilgan 










1
2
1
2
2
n
n
n
n
x