4-ma’ruza Kompleks hadli qatorlar. Teylor qatori. Loran qatori. Yakkalangan maxsus

2-Misol. Quyidagi darajali qatorning yaqinlashish sohasini toping. 

 

 

   

(     )

 

 

 

 

►

        √  (   

 

 

      

 

 

) bo’lganligi uchun 

 

 

  (     )

 

  √ 

 

(   

  

 

       

  

 

)       | 

 

|   √ 

 

 

Demak (23) formulaga ko’ra 

       

   

 

√| 

 

|

 

     

   

 

√√ 

 

 

 

 

√ 

 

√ 

 

 

---

Shunday  qilib  qatorning  yaqinlashish  sohasi  markazi  nolda  radiusi 

   

√    bo’lgan doiradan iborat. ◄ 

Abel teoremasidan quyidagi bir necha muhim natijalar kelib chiqadi. 

1-Natija.  Yaqinlashish  doirasining  ichida  darajali  qator  analitik  funksiyaga 

yaqinlashadi. 

2-Natija. Darajali qatorni yaqinlashish doirasi ichida ixtiyoriy marta hadlab 

differensiallash  va  integrallash  mumkin  bo’lib,  hosil  bo’lgan  qatorlarning 

yaqinlashish radiusi berilgan qator yaqinlashish radiusiga teng. 

Eslatma. (3) darajali qator bilan birgalikda  

 

 

   

 

 

(     )

 

   

 

   

 

(     )    

 

(     )

 

       

 

(     )

 

    

ko’rinishdagi  qatorlar  ham  darajali  qatorlardir.  Ravshanki,  u  ham  doirada 

yaqinlashuvchi    bo’lib,  yaqinlashish  radiusi  (4)  formulalar  bilan  topiladi. 

Yaqinlashish sohasi |

     |     doiradan iborat. 

Teylor qatori 

Markazi 

        nuqtada  bo’lgan     aylana  bilan  chegaralangan       doira 

ichida bir qiymatli analitik 

 ( )  funksiyani qaraymiz. Bu funksiyani         nuqta 

atrofida  darajali  qatorga  yoyamiz. 

   nuqta     doira  ichida  ixtiyoriy  joylashgan  

bo’lsin (1- rasm). 

► 

   doiraning  ichida  markazi     nuqtada  bo’lgan  shunday   

 

  aylana 

olamizki,   

   nuqta  uning  ichida  yotsin.  Agar     nuqta   

 

  aylananing  ustidagi 

ixtiyoriy nuqta bo’lsa, u holda Koshining integral formulasiga ko’ra 

 ( )  

 

   

 

 

 

 ( )  

     

 

(5) 

 

 

  (     )   kasrni quyidagicha shakl almashtiramiz 

 

     

 

 

        (     )

 

 

(     ) (         

     )

 

|     | modul  

 

 aylananing radiusiga teng, |

     | modul esa   nuqtadan   

nuqtagacha  bo’lgan  masofaga  teng  bo’lib,  |

     |  dan  kichik,  shuning  uchun 

|

   

   

|      O’z navbatida  

 

  

   

   

 ifodani 

 

 

 aylananing ichida joylashgan ixtiyoriy 

   nuqtada  yaqinlashuvchi  cheksiz  kamayuvchi  geometrik  progressiyaning 

yig’indisi deb qarash mumkin: 

1 - rasm 

a 

z

 

𝐶′

 

𝐶

 

ξ

 

---

 

   

     

     

     

     

     

  (

     

     

)

 

      (

     

     

)

 

    

(6) 

O’zgarmas  

  uchun  |

   

   

|     kattalik  

 

aylanada o’zgarmas son bo’lganli 

uchun (6) qator  bu aylanada 

  ga nisbatan yaqinlashuvchi bo’ladi. Shuning uchun 

(6) qator hadlarining modullari  

         

 

       

 

    

qator hadlari bilan ustma-ust tushadi. 

Demak,  oxirgi  qator  (6)  qator  uchun  majoranta  bo’ladi.  O’z  navbatida 

darajali qatorlarning xossalariga ko’ra (6) qatorni biror songa hadlab ko’paytirish, 

uni  hadlab  integrallash  mumkin  bo’ladi.  Yuqoridagilarga  asosan  (6)  tenglikning 

ikkala tomonini  

 ( )

   

 nisbatga hadlab ko’paytiramiz, natijada 

 ( )

     

 

 ( )

     

 

(     ) ( )

(     )

 

     

(     )

 

 ( )

(     )

   

    

qatorga ega bo’lamiz. Agar bu qatorni 

 

   

 ga ko’paytirib, 

 

 

 chiziq bo’yicha hadlab 

integrallasak, 

 ( )    funksiyaning         ning  darajalari  bo’yicha  qatorga 

yoyilmasini hosil qilamiz 

 ( )  

 

   

 

 

 

 ( )  

     

 

     

   

 

 

 

 ( )  

(     )

 

     

(     )

 

   

 

 

 

 ( )  

(     )

   

      

   

 

   

 

(     )    

 

(     )

 

     

 

(     )

 

    

bu yerda     

 

 

 

 

   

 

 

 

 ( )  

(     )

   

   (            ) 

(7) 

Shunday qilib quyidagi teoremani isbot qildik. ◄ 

3-Teorema.  Agar 

 ( ) markazi        nuqtada bo’lgan   doira ichida bir 

qiymatli analitik funksiya bo’lsa, u holda bu funksiyani 

  doirada yaqinlashuvchi 

bo’lgan  darajali  qatorga  yoyish  mumkin  bo’lib,  uning  koeffitsientlari  (7) 

formulalar bilan hisoblanadi.  

Yuqorida  hosil  qilingan  qatorda,  uning  (7)  koeffitsientlarini  hisoblashda 

 

 

 

chiziq  sifatida, 

   doiraning  ichida  yotuvchi  markazi         nuqtada  bo’lgan 

ixtiyoriy  aylana  yoki 

  nuqtani o’z ichiga olib uni bir marta aylanuvchi ixtiyoriy 

yopiq  konturni  olishimiz  mumkin.  Chunki  Koshining  integral  formulasiga  asosan 

integralning qiymati kontur tanlanishiga bog’liq emas.  

Agar yuqori tartibli hosilalar formulasini e’tiborga olsak 

 

 

 

 

   

 

 

 

 ( )  

     

   ( )  

 

 

 

 

   

 

 

 

 ( )  

(     )

   

 

 

( )

( )

  

   (            ) 

tengliklarga  ega  bo’lamiz.  Ular  yordamida  matematik  analizdan  ma’lum  bo’lgan 

Teylor formulasini hosil qilamiz  

 ( )    ( )  

 

 

( )

  

(     )  

 

  

( )

  

(     )

 

      

---

 

 

( )

( )

  

(     )

 

    

(8) 

      bo’lsa, ma’lum bo’lgan Makloren qatorini hosil qilamiz 

 ( )    ( )  

 

 

( )

  

   

 

  

( )

  

 

 

     

 

( )

( )

  

 

 

    

(9) 

Makloren formulalardan foydalangan holda ba’zi elementar funksiyalarning 

darajali  qatorlarga  yoyilmasini  keltirib  chiqarish  mumkin.  Buning  uchun 

funksiyani bevosita (9) formulalarga qo’yish etarli: 

 

 

         

 

 

  

 

 

 

  

   

 

 

  

    

           

 

 

  

 

 

 

  

      (  )

   

 

    

(      ) 

    

           

 

 

  

 

 

 

  

      (  )

 

 

  

(  ) 

    

(     )

 

          

 (     )

  

 

 

     

 (     )(     )   (         )

  

 

 

    

Bu  qatorlarning  birinchi  uchtasi  kompleks  tekisligining  barcha  nuqtalarida 

yaqinlashuvchi  bo’ladi,  oxirgisi  esa  binomial  qator  deb  atalib    |

 |      doirada 

yaqinlashuvchi bo’ladi. 

Loran qatori 

 

 

    

 

 

(     )

 

   

 

   

 

  

(     )

 

   

 

   

 

 

(     )

 

 

(10) 

ko’rinishdagi qatorga Loran qatori deb ataladi, bu yerda 

    

 

 - kompleks sonlar, 

   

-kompleks o’zgaruvchi. 

 

 

   

 

  

(     )

 

 

(11) 

qatorning bosh qismi,  

 

 

   

 

 

(     )

 

                                           (12) 

esa to’g’ri qismi deyiladi.  

 

Ravshanki, (10) qator yaqinlashuvchi bo’lishi uchun (11) va (12) qatorlar bir 

vaqtda  yaqinlashuvchi  bo’lishi  kerak.  (12)  darajali  qatorning  yaqinlashish  sohasi 

doira  bo’lib,  uning  radiusi  (4)  formula  bilan  hisoblanadi.  (11)  qatorning 

yaqinlashish sohasini topish uchun bu qatorda 

 

(     )

 

   

 

 

almashtirish bajaramiz va  

 

 

   

 

  

 

 

 

ni hosil qilamiz. U bizga ma’lum darajali qator bo’lib uning yaqinlashish radiusini  

 

 

     

   

|

 

  

 

    

|      

   

 

√| 

  

|

 

 

---

formula bilan hisoblanadi. Demak, agar  

 

|   |

 

 

 

       yoki   |

     |     

bo’lsa, (11) qator yaqinlashuvchi bo’ladi. 

 

Yuqorida  ta’kidlaganimizdek,  Loran  qatori  yaqinlashuvchi  bo’lishi  uchun 

uning  to’g’ri  va  bosh  qismlari  bir  vaqda  yaqinlashuvchi  bo’lishi  kerak. 

      

bo’lsa  (11)  va  (12)  qatorlarning  umumiy  yaqinlashish  sohasi  mavjud  va  Loran 

qatori  

    |     |     

xalqada yaqinlashuvchi bo’ladi. 

 

Agar 

      bo’lsa Loran qatori bironta ham nuqtada yaqinlashmaydi.       

bo’lganida  Loran  qatori  aylananing  ba’zi  nuqtalarida  yaqinlashuvchi,  qolgan 

nuqtalarida uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin.