16-Amaliy mashg’ulot. Kanonik tenglamalar. Lagranj va Gamilton funksiyalari orasidagi bog'lanishni topish

Topshiriq.

Ushbu Gamilton funksiyalaridan Gamilton tenglamalarini tuzing:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   16.2 – mashqlarning 3 – punktida berilgan Gamilton funksiyalariga mos.
   

16.2. Lagranj va Gamilton funksiyalari orasidagi bog'lanish.

1 – masala. Ushbu Lagranj funksiyasiga mos Gamilton funksiyasini toping.



Yechilishi: (16.1) ifodaga asosan , bu yerda

Oxirgi ifodada tezlik v ni impuls p orqali ifodalab, Gamilton funksiyasining formulasiga olib borib qo’yamiz.

Demak,

2–masala. Berilgan dan Gamilton funksiyasini tuzing.

Yechilishi: Bu Lagranj funksiyasi erkinlik darajasi 2 ga teng mexanik sistemani xarakterlaydi . Izlanayotgan Gamilton funksiyasi quyidagicha bo’lishi kerak.

Avval umumlashgan impulslarni topib olaylik:

Bu ifodalardan .

Bularni Gamilton funksiyasining ifodasiga olib borib qo’ysak:







3 – masala. Massasi m ga teng zarrachaning sferik koordinata sistemasidagi Gamilton funksiyasini yozing.

Yechilishi: Ma’lumki, bitta zarrachaning sferik koordinata sistemasidagi Lagranj funksiyasi quyidagi ko’rinishdadir:

Har bir umumlashgan koordinataga mos impulslarni hisoblab olaylik: .

Biz bu ifodalar orqali yana yuqoridagi masalalarni yechgandek Gamilton funksiyasini topishimiz mumkin. Hozir esa boshqacha usul ishlatamiz. Mexanik sistemaning energiyasini Lagranj funksiyasi orqali ifodasini eslaylik:

Gamilton funksiyasini topish uchun esa energiyani impulslar orqali yozish kifoyadir:

Demak,

4 – masala. Ushbu Gamilton funksiyasiga mos Lagranj funksiyasini toping:



Yechilishi: Yuqoridagi (16.1) va (16.2) ifodalardan , lekin o’ng tomonda hamma umumlashgan impulslarni tezliklar orqali ifodalab olish kerak. Bizning hol uchun (16.2) ifodadan tezliklar topib olamiz: . Bularni Lagranj funksiyasining ifodasiga olib borib qo’ysak:

Demak,

5 – masala. . Lagranj funksiyasi topilsin.

Yechilishi: ya’ni .