1-mavzu. Kompleks sonlarning algebraik, trigonometrik va ko‘rsatkichli shakli. Kompleks sonlar ustida amallar

5. Kompleks sonllar ustida amallar.
Kompleks sonlar algebraik shaklda berilgan bo‘lsin, ya’ni va . Bu kompleks sonlarning yig‘indisi deb,

tenglik bilan aniqlanuvchi kompleks songa aytiladi. Bu formuladan vektorlar bilan ifodalangan kompleks sonlarni qo‘shish vektorlarni qo‘shish qoidasi bo‘yicha bajarilishi kelib chiqadi (2-chizma). Demak, algebraik shaklda berilgan kompleks sonlarni qo‘shish uchun haqiqiy qismi haqiqiy qismiga, mavhum qismi mavhum qismiga qo‘shilar ekan.

y

z=z₁+z₂

z₂



z₁

0 x

2-chizma.

Ikkita va kompleks sonning ayirmasi deb, shunday songa aytiladiki, u ga qo‘shilganda yig‘indida kompleks son hosil bo‘ladi (3-chizma). Demak, algebraik shaklda berilgan kompleks sonlarni ayirish uchun haqiqiy qismi haqiqiy qismidan, mavhum qismi mavhum qismidan ayrilar ekan.

Shuni ta’kidlab o‘tamizki, ikki kompleks son ayirmasining moduli kompleks tekislikda shu sonlarni ifodalovchi nuqtalar orasidagi masofaga teng:

y
z₁


z₁-z₂



z₂

0 x

3-chizma.

2-misol. va kompleks sonlarning yig‘indisi va ayirmasini toping.



va kompleks sonning ko‘paytmasisi deb, bu sonlarni ikkihad sifatida algebra qoidalari bo‘yicha ko‘paytirish va ekanini hisobga olish natijasida hosil bo‘ladigan kompleks songa aytiladi.

va kompleks sonlar trigonometrik shaklda berilgan bo‘lsin:

va

_{Shu sonlarning ko‘paytmasini hisoblaymiz:}





.

Shunday qilib,

ya’ni ikkita kompleks son ko‘paytirilganda ularning modullari ko‘paytiriladi, argumentlari esa qo‘shiladi.

3-misol. kompleks sonlarni algebraik shakilda va trigonometrik shakillarda ko‘paytiring.

1)

2)

Kompleks sonlarni bo‘lish amali ko‘paytirishga teskari amal sifatida aniqlanadi.

Agar bo‘lsa, soni ning kompleks

soniga bo‘linmasi (ya’ni ) deyladi.

tenglikning ikkala qismini ga ko‘paytiramiz, ushbuga ega bo‘lamiz:

bundan:

Bundan ushbu qoida chiqadi: ni ga bo‘lish uchun bo‘linuvchi va bo‘luvchini bo‘luvchiga qo‘shma bo‘lgan kompleks songa ko‘paytirish kerak.

Agar kompleks sonlar va trigonometrik shaklda berilgan bo‘lsa, u holda

Shunday qilib,

,

ya’ni kompleks sonlarni bo‘lishda bo‘linuvchining moduli bo‘luvchining moduliga bo‘linadi, argumentlari esa ayriladi.

4-misol. ni ga algebraik shakilda bo‘ling.

Yechish. 1)

5.