Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli tenglamalar

Klero tenglamasi

-()0 bo’lsin. d/dx ga bo’lishdan =с, с=const yechimlar yo’qotilgan bo’ladi. Bu holda ( )= bo’lib, (3.9) tenglama

y=x +( ) (3.11)
ko’rinishiga keladi va bu tenglama- Klero tenglamasi deyiladi.
Bu teglamani yechish uchun = deb belgilash kiritamiz.
Natijada y=x+() ni hosil qilamiz.
Bu tenglamani x bo’yicha differensiallab
=+xd/dx+’()d/dx
yoki

tenglamani hosil qilamiz. Bundan d/dx=0, demak =C yoki x+’()=0.
=с da yechimdan
y=Cx+(c)
ikkinchi holda esa yechim

ko’rinishda bo’ladi.

Yuqori tartibli differensial tenglamalar

Yuqori tartibli differensial tenglamalar

Ta’rif. F(x,y,y’,....,y⁽ⁿ⁾)=0 ko’rinishdagi tenglamaga n - tartibli differensial tenglama deyiladi.
Ta’rif. n - tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb n ta с₁, с₂, .... с_n - ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarga bog’liq bo’lgan
y= (x, с₁, с₂, .... с_n)
funksiyaga aytiladi. Bu funksiya:

1. 
   с₁,...,с_n larning ixtiyoriy qiymatlarida tenglamani qanoatlantiradi;
   
2. 
   berilgan y(x₀)=y₀, (x₀)=y₁,..., y^(n-1)(x₀)=y_n-1 boshlang’ich shartda с₁, с₂, .... с_n larni shunday tanlash mumkinki,
   

y= (x, с₁, с₂, .... с_n) funksiya bu boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
Ta’rif. Umumiy yechimdan с₁, с₂, .... с_n miqdorlarning tayin qiymatlarida hosil bo’ladigan funksiya xususiy yechim deyiladi.

Yuqori tartibli tartibi pasayadigan

differensial tenglamalar

1. 
   y⁽ⁿ⁾=f(x) ko’rinishidagi tenglama.
   

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))^’ ni e’tiborga olib

ni hosil qilamiz, bunda x₀ x ning tayinlangan qiymati, с₁ - o’zgarmas miqdor.
Integrallashni shunday davom ettirib

ifodani hosil qilamiz.
Boshlang’ich shartlarni

qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topish uchun

С_n=y₀, C_n-1=y₁, .. ., C₁=y_n-1

deb olish etarli.

2. y^”=f(x,y) ko’rinishidagi tenglama.

=p deb, y^”=p^’ ni xosil qilamiz.
Demak,
p^’= f(x,y)

Bu tenglamani integrallab

- umumiy yechimni topamiz.
munosabatdan esa - umumiy yechimni xosil qilamiz.

3. ko’rinishidagi tenglama ham

deb parametr kiritish bilan
( - )
yuqorida o’rganilgan tenglamaga keltiriladi.
munosabatdan y ni topib, yechim xosil qilinadi.

4. ko’rinishidagi tenglama.

Bu tenglamani yechish uchun deb olamiz.
Ammo p ni y ning funksiyasi deb qaraymiz: p=p(y)
U xolda,



va larni berilgan tenglamaga qo’yib

birinchi tartibli differensial tenglamani xosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab p=p(y,c₁) yechimni va
munosabatdan

tenglamani olamiz.
Bu tenglamani integrallab, dastlabki tenglamaning
F(x,y,c₁,c₂)=0


umumiy yechimini xosil qilamiz.