Hosila va uning tatbiqlari

III-asosiy savol bayoni:
Hosilaning fizik va geometrik ma'nosi: a)Hosilaning fizik ma'nosi. Faraz qilaylik, harakat qilayotgan moddiy nuqtaning harakat qonuni s(t) = f(t), ya'ni vaqtning uzluksiz funksiyasi ko’rinishida berilgan bo'lsin.
Argument t ga ∆t orttirma berib, s(t) funksiyaning ∆t orttirmasini topamiz. Ma'lumki, ∆s(t) = s(t + ∆t) - s (ct), bu tenglikdan ni
olamiz, ya'ni nisbat harakatdagi moddiy nuq­taning [t, t + ∆t] vaqt oralig'idagi o'rtacha tezligini beradi. Hosila ta'rifiga ko'ra: ya'ni harakatdagi moddiy nuqtaning yo'l tenglamasidan vaqt bo'yicha olingan hosila moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi oniy tezligini beradi.
Shunga o'xshash, v'(t) = a(t), ya'ni tezlik tenglamasidan vaqt bo'yicha olingan hosila tezlanishni beradi.
b) Hosilaning geometrik ma'nosi. Hosilaning geometrik ma'nosi y = f(x) funksiya grafigiga biror M₀(x₀;f(x₀)) nuqtada urinma o'tkazish bilan bog'liqdir.
Tekislikda to'g'ri burchakli Dekart koordinatalari sistemasini olib, y = f(x) funksiya grafigini yasaymiz (39- chizma).
y = f(x) funksiya grafigiga M₀(x₀); f(x₀))
nuqtada o'tkazilgan urinma deb, M₀M
kesuvchining M nuqta grafik bo'ylab M₀
nuqtaga intilgandagi limit holatiga aytiladi
(39-chizma).
To'g'ri burchakli M₀MN uchburchakdan:
Faraz qilaylik. M nuqta y = f(x) funksiya grafigi bo'ylab M₀ nuqtaga intilsin, ya'ni M→M₀, bunda ∆x →0, , ya' ni yoki . Shunday qilib, y = f(x) funksiyaning x= x₀ nuqtadagi hosilasi funksiya grafigiga M₀(x₀; f(x₀)) nuqtada o'tkazilgan urinmaning Ox o'qning musbat yo'nalishi bilan hosil qilgan burchagi tangensiga (burchak koeffitsientiga) teng. Hosilaning geometrik ma'nosi shundan iborat. Agar ekanini e'tiborga olib, urinma tenglamasini y = f(x) = k(x-x₀) ko'rinishda izlasak, k = tg ekanidan y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama y=f(x) flinksiya grafigiga M₀(x₀;f(x₀)) nuqtada o'tkazilgan urinma tenglamasi deb ataladi.
y = f(x) funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli boshqa biror x qiymatni olib, (3) ko'rinishdagi limitlarni qaraymiz.
Bu formulalardan ko'rinadiki, x ning har bir qiymatiga ma’lum f'(x) son (agar u mavjud bo'lsa) mos keladi.
Agar nisbat x argument x₀ ga chapdan (yoki o'ngdan) intilganda limitga ega bo'lsa, u holda unga funk­siyaning chap (o'ng) hosilasi deyiladi. Bunday hosilalar bir tomonlama hosilalar deyiladi.
f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi bir tomonli hosilalari bunday belgilanadi:
f’_-(x₀) - chap (tomonli) hosila, f’₊ (x₀) - o'ng (tomonli) hosila:
;
Agar x₀ nuqtada f(x) funksiyaning bir tomonli hosilalari mavjud bo'lib, ular o'zaro teng bo'lsa, ya'ni bo'lsa, shu nuqtada funksiya hosilaga ega bo'ladi.
Misol. f(x) = |x| funkziya (40- chizma) x₀ = 0 nuq­tada bir tomonli (0) =l (chap) (0) = l (o'ng) hosilalarga ega bo'lib, ular o'zaro teng emas: (0)≠ (0).

Demak, bu funksiya x₀= 0 nuqtada hosilaga ega emas.

Agar funksiya biror intervalning har bir nuqtasida hosilaga ega bo'lsa, u shu intervalda differensiallanuvchi funksiya deyiladi.
Agar interval yopiq bo'lsa, uning chegaralarida bir tomonli hosilalarning mavjud bo'lishi nazarda tutiladi.
Agar biror x₀ nuqta (qiymat) uchun shartlardan birontasi bajarilsa, x₀ nuqtada +∞ yoki -∞ ga teng bo'lgan cheksiz hosila mavjud deb aytiladi.
Hosilaning geometrik ma'nosiga ko'ra bunday hollarda (x₀; f(x₀)) nuqtada
y = f(x) funksiya grafigiga o'tkazilgan urinma Oy o'qqa parallel bo'ladi (41- chizma).
Hosila ta'rifidan foydalanib, y=x va y=c funksiyalarning hosilalarini topamiz. Agar y = x bo'lsa, ∆y = ∆x va =1, bundan . (4)
Agar y = c (c—const) bo'lsa, u holda ∆y = 0, = 0 va Demak,
c' = 0 (5) ya'ni har qanday o'zgarmas sonning hosilasi nolga teng.
2-eslatma. Hosilani belgilash uchun y',y'_x, , simvol (belgi)lardan ham foydalaniladi.