Chekli ayirmalar usuli haqida tushunchalar. Parabolik tipdagi issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini yechishning bir qator
analitik va taqribiy usullari mavjud. Analitik usullar uchun eng muhim kriteriya bu
ularning nochiziqli chegaraviy masalalarni yechishga qoʻllanilishi mumkinligi. Agar usul nochiziqli chegaraviy masalalarni yechish uchun ishlab chiqilgan boʻlsa, u holdauni chiziqli masalalar uchun qoʻllash hech bir qiyinchilik tugʻdirmaydi, aksi esa koʻp hollarda oʻrinli emas.
Issiqlik oʻtkazuvchanlik nazariyasining chiziqli chegaraviy masalalarini yechish uchun qoʻllaniladigan usullar:
Klassik usullar: oʻzgaruvchilarni ajratish usuli (Furye usuli); manba funksiyalari (Grin funksiyasi) usuli; issiqlik potensiallari usuli;
Integral akslantirishlar usullari: cheksiz limitlarda; chekli limitlarda (bularda
integral akslantirish yadrosi jismning shakli va chegaraviy shartlarga qarab
har xil tanlanadi);
Issiqlik oʻtkazuvchanlik nazariyasining nochiziqli chegaraviy masalalarini yechish uchun qoʻllaniluvchi usullar:
Variatsion usullar: Rits usuli; L.V.Kantorovich usuli; Treffts usuli; Bio usuli;
Kurant usuli; LeybenzoN usuli;
Chiziqlilashtirish usullari (nochiziqli chegaraviy masalani chiziqliga
keltirish): oʻrniga qoʻyish usullari (algebraik va integral); chiziqlilashtirish
uslublari; ketma-ket yaqinlashishlar usullari; qoʻzgalishlar usuli (kichik parametr usuli);
Proyeksion usullar: kollokatsiya usuli; Bubnov-Galyorkin usuli; momentlar
usuli; integral usullar (integral issiqlik balansi, funsional toʻldirishlarni
oʻrtalashtirish);
Chegaraviy masalani boshqa turdagi tenglama va masalalarga keltirish usullari: nochiziqli chegaraviy shartlar bilan berilgan chegaraviy masalalarni unga
ekvivalent boʻlgan nochiziqli funksional tenglamalarga, temperaturadan
bogʻliq boʻlgan uzatish koeffisiyenti bilan berilgan chegaraviy masalani
nochiziqli integral tenglamalarga, issiqlik oʻtkazuvchanlikning chegaraviy
masalasini oddiy differensial tenglamali chegaraviy masalaga keltirish.
Keltirilgan usullarning bu klassifikatsiyasi shartli, chunki ba’zi usullar bir vaqtning oʻzida bir necha usullar guruhlariga kirishi mumkin, ba’zilari esa ushbu klassifikatsiyaga kirmay qolmoqda.
Endi bu usullardan ba’zilarining gʻoyasiga toʻxtalib oʻtaylik.
Issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini oddiy differensial tenglamalar yoki ularning sistemasiga keltiruvchi usullar:
- integral akslantirishlar usuli;
- oʻzgaruvchilarni ajratish usuli (Furye usuli);
- koordinat almashtirishlar usuli va hokazo.
Issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini sonli (taqribiy) yechish usullari:
- Furye qatoriga yoyish usuli (bu usul chiziqli masalalarga qoʻllaniladi);
- Rits va Galyorkin usullari (bu usullarni ba’zi nochiziqli masalalarga ham qoʻllash mumkin);
- ayirmali usul (nochiziqli masalalar holida iteratsion deb ataladi; yaxshi yaqinlashuvchi iteratsion jarayonlarni qurish juda murakkab, ammo koʻp hollarda bu issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini yechishning yaqona uslubi hisoblanadi);
- polinomial sirtlar yordamida yechimni approksimatsiyalashga asoslangan usullar;
- Monte-Karlo usuli (fizik sistemaning tabiati murakkabligi sababli boshqa usullar bilan yechib boʻlmaydigan masalalar uchun, masalan, koʻpayuvchi sistemada reaksiya neyron zanjiri kabi);
- eksperiment tasodifiy sonlardan va elementar jarayonlar uchun ma’lum boʻlgan
ehtimollik qonunlaridan foydalanib EHMda modellashtiriladi.
Qoʻzgʻalishlar (chiziqlilashtirish) nazariyasi usuli dastlabki nochiziqli masalani uning approksimatsiyalovchi chiziqli masalalari ketma-ketligiga keltirish imkonini beradi. Grin funksiyasi usuli mazmuniga koʻra boshlangʻich va chegaraviy shartlar sodda manbalar sistemasiga almashtiriladi va masala ana shu manbalarning har biri uchun yechiladi. Integral tenglamalar usulida esa issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi integral tenglamaga keltiriladi. Variatsion usullarda esa xususiy hosilali tenglamalar oʻrniga biror minimallashtirish masalasi yechiladi, bunda biror ifodani minimumga keltiruvchi funksiya dastlabki tenglamaning yechimi boʻladi. Xos funksiyalarga tarqatish usuli qoʻllanilganda yechim xos funksiyalar boʻyicha qator koʻrinishida izlanadi, bunda issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi uchun dastlabki masalaga mos keluvchi xos qiymatlar masalasi deb ataluvchi masala yechimi topiladi va hokazo.
Mos chegaraviy va boshlangʻich shartlari bilan berilgan (1.1) tenglamani
EHMning imkoniyatlaridan foydalanib sonli yechamiz. Masalaning sonli yechimi deb jadval koʻrinishida olingan sonlardan iborat yechimga aytiladi.
Xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechishda asosan chekli ayirmalar usuli qoʻllaniladi. Chegaraviy masalalarni yechishning chekli ayirmalar usuli gʻoyasi juda sodda va bu uning nomlanishidanoq tushunarli: differensial tenglamadagi hosilalar oʻrniga ularning chekli-ayirmali approksimatsiyasidan foydalaniladi. Differensialli chegaraviy masalaning diskret approksimatsiyalarini qurishda ikkita maqsadni(balki ular bir biriga zid boʻlishi ham mumkin) bir-biri bilan bogʻlash lozim: approksimatsiyaning yaxshi sifati va algebraik sistemaning olingan samarali ustivor yechimi.
Parabolik tipdagi issiqlik oʻtkazuvchanlik masalasi uchun chekli ayirmalar usulini qoʻllashda qattiq jism tugunlar birikmasi koʻrinishida ifodalanadi. (1.1) differensial tenglamaning xususiy hosilalarini chekli ayirmalar bilan approksimatsiyalab (almashtirib), toʻr har bir tugunining lokal xarakteristikasi sifatidagi temperaturani aniqlash uchun chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Hosil boʻlgan sistema yopiq emas, ularning yopiqligini ta’minlash uchun chegaraviy shartlarning ayirmali ifodalaridan foydalaniladi. Natijada EHM yordamida sonli usullar bilan yechiladigan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
