|
P(A+B)≠P(A)+P(B).
Bu yerdan ko‘rinadiki, hodisalar birgalikda bo‘lgan holda qo‘shish teoremasini o‘zgartirish lozim. Bu teoremani birgalikda bo‘lgan hodisalar uchun ham, birgalikda bo‘lmagan hodisalar uchun ham o‘rinli bo‘ladigan qilib ta’riflash mumkinligini quyida ko‘ramiz., demak, yuqorida ko‘rilgan qo‘shish teoremasi endi yangi teoremani xususiy holi bo‘ladi.
Kengaytirilgan qo‘shish teoremasi. A va B ixtiyoriy hodisalar bo‘lsin. Bu hodisalardan hech bo‘lmaganda birining yuz berish ehtimoli shu hodisalar ehtimollarining yig‘indisidan ularning birgalikda yuz berish ehtimolining ayrilganiga teng, ya’ni
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B). (9)
Isboti. lar n ta jufti-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalarning to‘la gruppasi bo‘lsin. Agar bo‘lsa , u holda A hodisaga n ta elementar hodisalarning tasi qulaylik tug‘diradi. Aytaylik, shu ta hodisadan k B hodisaga qulaylik tug‘dirsin, -k tasi esa unga qulaylik tug‘dirmasin. U holda n ta elementar hodisaning rosa k tasi ham A hodisaga, ham B hodisaga qulaylik tug‘diradi. Shuning uchun, agar bo‘lsa, B hodisa ga qulaylik tug‘diruvchi ta hodisa orasida A hodisaga qulaylik tug‘diruvchi k ta hodisa va A hodisaga qulaylik tug‘dirmaydigan -k hodisa bor.
(A+B) hodisaga qulaylik tug‘diruvchi hamma elementar hodisalar yo A ga, yoki B ga, yoki ham A, ham B ga qulaylik tug‘dirishi lozim. Shunday qilib, bunday hodisalarning jami soni
bo‘lib, ularning ehtimoli
bo‘ladi. Shuni isbotlash kerak edi.
(9) formulani yuqorida qaralgan o‘yin soqqasini tashlashda tushadigan ochkolar soni haqidagi misolaga tatbiq qilib,
natijani hosil qilamiz. Bu esa avval hisoblangan natija bilan bir xildir.
formula (9) formulaning xususiy holi ekanligi ravshan. Haqiqatan ham, agar A va B hodisalar birgalikda bo‘lmasa, u holda k=0 bo‘lib, bu hodisalarning birgalikda yuz berish ehtimoli P(A·B)=0 bo‘ladi.
Misol. Elektr zanjiriga ikkita saqlagich ketma-ket ulangan. Birinchi saqlagichning ishdan chiqish ehtimoli 0,6 ga, ikkinchi saqlagichning ishdan chiqish ehtimoli 0,2 ga teng. Bu saqlagichlarning hech bo‘lmaganda birining ishdan chiqishi natijasida zanjirda tok bo‘lmaslik ehtimolini toping.
Birinchi va ikkinchi saqlagichlarning ishdan chiqishidan iborat bo‘lgan A va B hodisalar birgalikda bo‘lgani uchun izlanayotgan ehtimol (9) formulaga asosan topiladi:
P(A+B)=0,6+0,2-0,6·0,2=0,68.
Masala: Gulzorda 20 ta qizil, 30 ta binafsha rang va 40 ta oq rangli astra ochilgan. Agar kech tushgandan sо‘ng bitta gul uzilgan bо‘lsa, uning qizil yoki binafsha rang bо‘lish ehtimolini toping.
Yechish: .
Murakkab hodisalarning ehtimollarini hisoblashda ko‘pincha qo‘shish va ko‘paytirish teoremalarini birga tadbiq qilishga to‘g‘ri keladi. Dastlab quyidagi misolni ko‘raylik.
Misol. Tashqi ko‘rinishi bir xil, ichida oq va qora sharlar tarkibi har xil bo‘lgan uchta yashik bor. Birinchi yashikda ta oq va ta qora sharlar, ikkinchi yashikda ta oq, ta qora sharlar, uchichi yashikda esa ta oq va ta qora sharlar bo‘lsin. Yashiklardan biri tavakkaliga tanlanib, undan bitta shar olindi. Olingan sharning oq shar bo‘lish ehtimolini toping.
Dastlab shar birinchi yashikdan olingan deb tahmin qilaylik. Bunday tahmin hodisaning yuz berishi yoki gipotezaning amalga oshishi deyiladi. Istalgan yashikning tanlanishi teng ehtimolli bo‘lganligidan bu gipotezaning ehtimoli bo‘ladi. Sharlar tarkibi haqida qilingan taxminga ko‘ra birinchi yashikdan oq shar olish (A hodisa) ehtimoli
bo‘ladi.
Birinchi yashikning tanlanishidan va undan olingan sharning oq bo‘ishidan iborat bo‘lgan murakkab hodisani qaraylik. Bu hodisaning ehtimoli ko‘paytirish teoremasiga asosan
bo‘ladi.
Huddi shunga o‘xshash, ikkinchi yashikda oq shar olish ehtimoli hodisa va A hodisaning birgalikda yuz berishidan iborat murakkab hodisaning ehtimolidir, natijada bu ehtimol quyidagiga teng:
.
Uchinchi yashik uchun esa
bo‘ladi
A hodisa sharni aynan qaysi yashikdan olinishidan qat’iy nazar oq shar olinishidan iborat hodisani bildiradi. U holda
Hodisalarning birgalikda emasligidan foydalanib, A hodisaning ehtimolini hisoblash uchun qo‘shish teoremasini tatbiq qila olamiz. Bu teorema quyidagi natijani beradi:
Endi masalani umumiy holda ta’riflaymiz.
Birgalikda bo‘lmagan hodisalarning to‘la gruppasini tashkil qilib, A ularning har biri, masalan, hodisa bilan birgalikda yuz berish ehtimolini topamiz:
Shunga o‘xshash,
, (2)
Endi hodisalarning birgalikda bo‘lmaganligidan foydalanib, qo‘shish teoremasiga binoan a hodisaning ehtimolini topish mumkin. (1) va (2) tengliklarni qo‘shib,
formulani yoki qisqacha yozsak,
(3)
ni hosil qilamiz.
(3)formula to‘la ehtimol formulasi deyiladi.
Bunday hollarda hodisalarni odatda gipotezalar deyiladi. Yuqorida qaralgan 1-misolda uchta o‘zaro teng ehtimolli gipoteza bor edi:
Masala. Uchta mergan nishonga bittadan o‘q uzadi. Birinchi merganning o‘qi nishonga 0,6 ehtimollik bilan, ikkinchi merganning o‘qi nishonga 0,8 ehtimollik bilan, uchinchi merganning o‘qi esa 0,3 ehtimollik bilan tegadi. Uchala mergan o‘q uzgandan so‘ng nishonga ikkita o‘q tekkanligi ma’lum bo‘lsa, birinchi merganning o‘qi nishonga tegish ehtimolligini toping.
Do'stlaringiz bilan baham: |
