Haqiqiy sonlar to’plami. Chegaralangan sonli to’plamalar Reja

2⁰. Aniq chegaralarning mavjudligi.
Aytaylik,

0. 
    ₀ ,₁₂ ..._n ...
   

musbat haqiqiy son bo‘lsin, bunda

₀  N {0}, _nN₀{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},n1.

Ushbu

ratsional sonlar uchun
a_n    b_n
bo‘ladi.
Demak, ixtiyoriy haqiqiy son olinganda shunday ikkita ratsional son topiladiki, ulardan biri shu haqiqiy sondan kichik yoki teng, ikkinchisi esa katta bo‘ladi.

Endi sonlar to‘plamining aniq chegaralarining mavjudligi haqidagi teoremalarni keltiramiz.

3-teorema. [1, theorem 5.5.9, 117-bet] Agar bo‘sh bo‘lmagan to‘plam yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, uning aniq yuqori chegarasi mavjud bo‘ladi.

Bu teoremani

Е [0, ), E 

to‘plam uchun isbotlaymiz.

◄ E to‘plam yuqoridan chegaralangan bo‘lsin:

M  R, x  E : x  M.

Arximed aksiomasini e’tiborga olib, M  N deyish mumkin.

Endi E to‘plam

  ₀ ,₁₂ ... ( Е)

elementlarining butun qismlaridan, ya’ni ₀ laridan iborat to‘plamni F₀ deylik:

F₀  ₀  N{0} |,   ₀ ,₁₂ ... E .

Bu to‘plam ham yuqoridan M soni bilan chegaralangan va F₀ .

Ravshanki, F₀  N{0}. Bundan F₀ to‘plamning chekli ekanligini topamiz.

Demak, F₀ to‘plamning eng katta elementi mavjud. Uni c₀ deylik:

max F₀  c₀ (1)

0. 
   E to‘plamning
   

c₀ ,₁₂ ...

ko‘rinishdagi barcha elementlaridan iborat to‘plamni E₀ deb olamiz:

E₀  {c₀ ,₁₂ ... E}.

Ravshanki, E₀  E, E₀ .

Endi E₀ to‘plam

c₀ ,₁₂ ...
elementlarining ₁ laridan iborat to‘plamni olib, uni F₁ deylik:
F₁  {₁ {0,1, 2,...,9} | c₀ ,₁_2. ... E₀ }.
Bu chekli to‘plam bo‘lib, F₁  bo‘ladi. SHuning uchun uning eng katta elementi mavjud. Uni c₁ deb olamiz:

max F₁  c₁ (2)

E₀ to‘plamning
c₀ , с₁₂₃ ...
ko‘rinishdagi barcha elementlaridan iborat to‘plamni E₁ deb olamiz:
E₁  {c₀ , c₁_2.₃ ... E₀ }

Ravshanki, E₁  E₀ , E₁  .

Endi E₁ to‘plam
c₀ , с₁₂₃ ...
elementlarining ₂ laridan iborat to‘plamni olib, uni F₂ deylik:
F₂ {₁ {0,1, 2,...,9}| c₀ ,c₁ ,_2....E₁}.
Bu to‘plam ham chekli va F₂  bo‘lib, uning eng kata elementi mavjud:
max F₂  c₂ (3)
E₁ to‘plamning
c₀ , с₁с₂₃ ...
ko‘rinishdagi barcha elementlaridan iborat to‘plamni E₂ deb olamiz:
E₂  {c₀ , c₁c₂₃ ... E₁}
Bu jarayonni davom ettira borish natijasida
a  c₀ ,с₁с₂ ...c_n ...

haqiqiy son hosil bo‘ladi.

Endi E to‘plam va bu a son uchun 1-teoremaning ikkala shartlarini bajarilishini ko‘rsatamiz:

0. 
   Yuqoridagi (1) munosabatga ko‘ra  ₀ ,₁₂₃ ... E uchun ₀  с₀
   

bo‘ladi.

Agar ₀  с₀ bo‘lsa, u holda ₀ ,₁₂ ...  a bo‘ladi.

Agar ₀  с₀ bo‘lsa, u holda c₀ ,₁₂ ... E₀ bo‘lib, (2) munosabatga ko‘ra ₁  с₁ bo‘ladi.

Agar ₁  с₁ bo‘lsa u holda ₀ ,₁₂ ...  a bo‘ladi.

Agar ₁  с₁ bo‘lsa, u holda c₀ , с₁₂ ... E₁ bo‘lib, (3) munosabatga ko‘ra ₂  с₂ bo‘ladi.

Bu jarayonni davom ettirish natijasida ikki holga duch kelamiz:

1. 
   shunday n  0 topiladiki,
   

₀  c₀ , ₁  c₁ , ... _n1  c_n1 , _n  c_n
bo‘lib, ₀ ,₁₂ ...  a bo‘ladi.

2. 
   ixtiyoriy n  0 da _n  с_n bo‘lib, ₀ ,₁₂ ...  a bo‘ladi. Demak, har doim
   

₀ ,₁₂ ...  a munosabat o‘rinli bo‘ladi;

0. 
   a sondan kichik bo‘lgan ixtiyoriy
   
   0. 
       ₀ , ₁₂ ..._n ...
      

haqiqiy sonni olaylik:

0. 
    ₀ , ₁₂ ..._n ... с₀ , с₁с₂ ...с_n ...
   

Unda shunday n  0 topiladiki,

₀  c₀ ,₁c₁, ..._n1c_n1,_nc_n

bo‘ladi. Shuni e’tiborga olib, х  Е_n  Е uchun

0. 
   x  ₀ , ₁₂ ..._n ...
   

bo‘lishini topamiz.

Shunday qilib teoremada keltirilgan E to‘plam va a soni uchun 1-teoremaning ikkala shartining bajarilishi ko‘rsatildi. Unda 1-teoremaga muvofiq

E to‘plamning aniq yuqori chegarasi mavjud va

a  sup E

bo‘lishi kelib chiqadi. ►

Xuddi shunga o‘xshash quyidagi teorema isbotlanadi.

4-teorema. Agar bo‘sh bo‘lmagan to‘plam quyidan chegaralangan bo‘lsa, uning aniq quyi chegarasi mavjud bo‘ladi.


Eslatma. To‘plamning aniq quyi hamda aniq yuqori chegaralari shu to‘plamga tegishli bo‘lishi ham mumkin, tegishli bo‘lmasligi ham mumkin.

0. 
   

Nazorat savollari

0. 
   

1. To`plamning eng kata va eng kichik elementlari nima?

23. 
    2. To`plamning yuqori va quyi chegaralari ta’riflarini bering.
    

23. 
    3. To`plamning aniq yuqori va aniq quyi chegaralari ta’riflarini bering.
    

23. 
    4. Aniq yuqori chegaraning mavjudligi haqidagi teoremani ayting.
    

5. Aniq quyi chegaraning mavjudligi haqidagi teoremani ayting.

Adabiyotlar

0. 
   1. Tao T. Analysis 1. Hindustan Book Agency, India, 2014.
   

0. 
   2. Xudayberganov G., Vorisov A. K., Mansurov X. T., Shoimqulov B. A. Matematik analizdan ma’rizalar, I q. T. “Voris-nashriyot”, 2010.
   
1. 
   3. Fixtengols G. M. Kurs differensialnogo i integralnogo ischisleniya, 1 t. M. «FIZMATLIT», 2001.