Haqiqatga eng yaqin baholash usulining xossalari Reja

1 Nuqtaviy baholash usullari va ularning xossalari.

^{Statistik model} ^P_ ^{,  }^{,   R(s) ,}

oila bilan berilgan bo’lib,

^{ } ^₁ ^,₂ ^,...,_s 
parametrni baholash masalasini qaraymiz.

Momentlar usuli.

G    _ g₁  ,..., g_s  _ vektor funksiya uchun biror asosli

1n sn

n

n

1n sn
G^%_ X ^n _  _g^% _X ^n _,...g^% _X ^n _

baho mavjud bo’lsin. Momentlar usuliga asosan,

^{ } ^₁ ^,₂ ^,..._s 
ya’ni


uchun
^% _^%,...,^%_

baho sifatida

G _ _  G^% tenglamaning,

i in
^g ^  ^{ g%} _^{X n} _^,
i 1,..., s;
(1.1.1)

sistemaning yechimi olinadi. Bunday baholarning xossalari


^{gi i  1, s} ,

funksiyalarning xossalari bilan aniqlanadi. Odatda

^gi ^  ^{ M ai} ^ ^{, i  1, s, (masalan
a} ^  ^{  i ) ko’rinishda tanlanadi. Bu holda katta}

sonlar qonunidan foydalanib, mumkin:
^g%in
sifatida
^ai ^ 
ning empirik momentini tanlash

g^% _X ^n _  ¹ _n
a _ X
_, i  1, s _.

1n _n
i j
j1

1.1.1– Teorema. Faraz qilaylik,
^gi ^ 

i  1, s
funksiyalar  da uzluksiz

hosilalarga ega bo’lib,




J_{g } _  det _
_
g_{i } _
 _j
_


1,s
i, j  ^_

- yakobian noldan farqli

n
bo’lsin. Agar (1.1.1) sistema yechimi uchun asosli baho bo’ladi.
^% yagona bo’lsa, u holda bu yechim 

n
Isboti.

G : H desak,
G^1 :H 

• 
  bir qiymatli va uzluksizdir.
  

^g%in
P

i
 g , i 1, s,
n

ekanidan, 1 ga yetarlicha yaqin ehtimollik bilan

G^%H ^{. U}

holda (1.1.1) dan
^% G^1 _G^%_
va G^1
ning uzluksiz ekanidan, n  da

n n

_%

1
P
_n G
^{G } ^{ 0 . ■}

Momentlar usuli bahosi xossalari

1. 
   Aytaylik
   

*  m^1(g(x))
baho  ni momentlar usulida topilgan bahosi

bo`lsin. (bu yerda
m<sup>1</sup> uzluksiz) U holda  *- asosli baho bo`ladi.

Isboti: Xinchinning katta sonlar qonuniga binoan


g(x)  ¹ _g(x) ^P E g(x )  m( ) ,
_n  i


m^1 uzluksizligidan
*  h^1(g(x)) ^Ph^1(E_ g(x))  h^1(h( ))   .

2. 
   Agar m funksiya  nuqtada differensiallanuvchi,
   

_ g²(x)P_ dx 

1
momentlar usulidagi baho asimptotik normal baho bo`ladi. Ushbu ( (m'( ))², D_ g(x ) ) parametrlar bilan.

^{Haqiqatga maksimal o’xshashlik usuli} ^{P ,  } ^{ ,
f}  ^x;  ^{ dP}  ^x
d

va ^{  } uchun ^P_ ^{ P}_ ^,  ,  bo’lsin. Biz
  _ , ,...
_  R^(s) -

1 2 _{1 2} 1 2
1 2 s

vektor parametrni baholash masalasini qaraymiz. Haqiqatga o’xshashlik funksiyasi

deb X
^n da aniqlangan nomanfiy



n n
f ^* _x⁽ⁿ⁾; _  Cf


_x⁽ⁿ⁾; _,


_x⁽ⁿ⁾; _X

(n) _

ko’rinishdagi funksiyaga aytiladi. Bu yerda
C _0,_

• 
  ko’paytuvchi ^ ga
  

bog’liq emas, ammo
n
_x(n)
ga bog’liq bo’lishi mumkin va

f _x⁽ⁿ⁾; _  _ f
_ x ; _

- tanlanmaning zichlik funksiyasi.

n n i
i1

1. 
   – Ta’rif. Haqiqatga maksimal o’xshashlik usuli bahosi. (HMO’UB)
   

deb, quyidagi munosabatni qanoatlantiruvchi

_B ⁿ

- o’lchovli



n
^ˆ _X ^n _: X
^{n } akslantirishga aytiladi:

f ^* _X ^n;^ˆ _  max_f ^* _X ^n; _.

(1.1.2)

f

n
n n _ n



n
Demak,
^ˆ ni topish,
^* ning maksimumini topishga ekvivalent masala

ekan.
f ^* va
ln f ^*
funksiyalar bir xil nuqtalarda ekstremumga erishishi sababli,

n

n
(1.1.2) tenglikni
ln f ^*
uchun ham yozish mumkin. Bu esa, o’z navbatida, amalda

n
qulayliklarga olib keladi. U holda (1.1.2) tenglikni quyidagi ekvivalent ko’rinishda yozish mumkin:

^ˆ _ X ^n _  Arg max_
ln f _ x; _ P^ˆ
_dx_  Arg max ^{ 1
ln f}  ^{X ;} ^.(1.1.3)

ⁿ  ^{ n}


 _{n  i} 

n
 i1 
Ba’zi hollarda (1.1.2) tenglama yechimga ega bo’lmasligi ham mumkin. Odatda

HMO’UB fiksirlangan

x^n X
ⁿ _da
f ^* _x^n; _
- ^ ning uzluksiz funksiyasi

n
bo’lgan hollarda qo’llaniladi. HMO’UBlari yagona bo’lmasligi mumkin. Endi ^{bahoning bunday nomlanishini biz faqat diskret holdagina (}  ^{- sanoqli o’lchov)
tushuntiramiz. Bu holda f} ^x;  ^{ P}_ ^{  x} ^va


f _x^n; _  P _X ^n  x^n _  _P _  x _{ .}
n
n   i i1


Demak, biz
^ˆ sifatida
f_n ehtimollikni maksimallashtiruvchi parametr qiymatini

n
tanlar ekanmiz.

1. 
   Agar
   

 R^s

bo’lib, ixtiyoriy

x^n X
ⁿ

uchun
f ^* _x^n; _

funksiya

n


^ bo’yicha differensiallanuvchi va o’z maksimumiga ^ ning ichki nuqtasida

n
( ^ ga biror oralig’i bilan tegishli bo’lgan nuqtada) erishsa, u holda quyidagi shartni qanoatlantiradi:
^ˆ baho

^ .
bu yerda
 0

n
 ^ˆ
yoki

n
 ^ˆ
 0,
(1.1.4)


 ln f_{n } ^  ln

f_{n ,...,}  ln f_n ^

 _
₁ _{s }

2. 
   
   
   
   n
   Agar Kramer – Rao ma’nosida effektiv baho mavjud bo’lsa, uni HMO’UB yordamida topish mumkin.
   

3. 
   Yana shuni ta’kidlab o’tamizki, agar HMO’UBsi yetarli statistika T ning funksiyasi bo’ladi.
   

^ˆ yagona bo’lsa, u



n
 ^ˆ



n
 ^ˆ
 0.

n
Ammo ^ˆ
ning o’zi yetarli statistika bo’lishi shart emas.

HMO’UBsining yana bir muhim xossalaridan biri – uning parametrni almashtirishga nisbatan invariantligidir. Bu trivial da’voni isbotsiz keltiramiz. ^ -

fazo
_R^s
dagi interval bo’lsin.

g ^ 

uchun
g^ˆ_n  g _^ˆ _

n

n
- HMO’UBsi

2. Muhim taqsimotlar nomalum parametrlarining baholari va ularning xossalari