Handbook of Photovoltaic Science and Engineering

P N
-JUNCTION DIODE ELECTROSTATICS
85
Solving equations (3.83) and (3.84) and defining
φ(x
P
)
=
0, gives
φ(x)
=















V
bi
, x
≤ −
x
N
V
bi
−
qN
D
2
ε
(x
+
x
N
)
2
,
−
x
N
< x
≤
0
qN
A
2
ε
(x
−
x
P
)
2
,
0
≤
x < x
P
0
, x
≥
x
P
(
3
.
86
)
The electrostatic potential must be continuous at
x
=
0. Therefore, from equation (3.86),
V
bi
−
qN
D
2
ε
x
2
N
=
qN
A
2
ε
x
2
P
(
3
.
87
)
In the absence of any interface charge at the metallurgical junction, the electric field is
also continuous at this point (really, it is the displacement field,
D
=
ε
E
, but in this
example,
ε
is independent of position), and
x
N
N
D
=
x
P
N
A
(
3
.
88
)
This is simply a statement that the total charge in either side of the depletion region
exactly balance each other and therefore the depletion region extends furthest into the
more lightly doped side.
Solving equations (3.87) and (3.88) for the depletion width,
W
D
, gives
3
W
D
=
x
N
+
x
P
=
2
ε
q
N
A
+
N
D
N
A
N
D
V
bi
.
(
3
.
89
)
Under nonequilibrium conditions, the electrostatic potential difference across the junc-
tion is modified by the applied voltage,
V
, which is zero in thermal equilibrium. As a
consequence, the depletion width is dependent on the applied voltage,
W
D
(V )
=
x
N
+
x
P
=
2
ε
q
N
A
+
N
D
N
A
N
D
(V
bi
−
V ).
(
3
.
90
)
As previously stated, the built-in voltage,
V
bi
, can be calculated by noting that under
thermal equilibrium the net hole and electron currents are zero. The hole current density is
J
p
=
qµ
p
p
o
E
−
qD
p
∇
p
=
0
.
(
3
.
91
)
3
A somewhat more rigorous treatment of equation 3.89 would yield a factor of 2
kT /q
which is
∼
50 mV at
300 K, or
W
D
=
2
ε
q
N
A
+
N
D
N
A
N
D
(V
bi
−
2
kT /q)
[3]
.

---

86
THE PHYSICS OF THE SOLAR CELL
Thus, in 1D, utilizing the Einstein relationship, the electric field can be written as
E
=
kT
q
1
p
o
d
p
o
d
x
(
3
.
92
)
Rewriting equation (3.85) and substituting equation (3.92) yields
V
bi
=
x
P
−
x
N
E
d
x
=
x
P
−
x
N
kT
q
1
p
o
d
p
o
d
x
d
x
=
kT
q
p
o
(x
P
)
p
o
(
−
x
N
)
d
p
o
p
o
=
kT
q
ln
p
o
(x
P
)
p
o
(
−
x
N
)
(3.93)
Since we have assumed nondegeneracy,
p
o
(x
P
)
=
N
A
and
p
o
(
−
x
N
)
=
n
2
i
/N
D
. Therefore,
V
bi
=
kT
q
ln
N
D
N
A
n
2
i
.
(
3
.
94
)
Figure 3.14 shows the equilibrium energy band diagram, electric field, and charge den-
sity for a simple abrupt
pn
-junction silicon diode in the vicinity of the depletion region.
The conduction bandedge is given by
E
C
(x)
=
E
0
−
qφ(x)
−
χ
, the valence bandedge
(a)
E
C
E
i
E
V
E
E
→
0
E
F
0
r
(b)
(c)
E
0
q
f
(
x
)
c
qV
bi
qN
D
−
qN
A
x
= −
x
N
x
= 
x
P
x
= 
0
Figure 3.14
Equilibrium conditions in a solar cell: (a) energy bands; (b) electric field; and
(c) charge density

---

SOLAR CELL FUNDAMENTALS
87
by
E
V
(x)
=
E
C
(x)
−
E
G
, and the intrinsic energy by equation (3.19).
E
0
, defined as the
vacuum energy, serves as a convenient reference point and is universally constant with
position. An electron at the vacuum energy is, by definition, completely free of influ-
ence from all external forces. The electron affinity,
χ
, is the minimum energy needed
to free an electron from the bottom of the conduction band and take it to the vacuum
level. The electric field is a result of the uncovered ionized donors and acceptors and
opposes the diffusion of electrons and holes in the quasi-neutral regions. The charge
density plot illustrates the balance of charge between the two sides of the depletion
region. In heterojunctions, both the band gap and the electron affinity are position-
dependent – making the calculation of the junction electrostatics and energy band diagram
more involved.
The basic solar cell structure has now been established (Figure 3.13). It is simply
a
pn
-junction diode consisting of two quasi-neutral regions on either side of a depletion
region with an electrical contact made to each quasi-neutral region. Typically, the more
heavily doped quasi-neutral region is called the
emitter
(the
n
-type region in Figure 3.13)
and the more lightly doped region is called the
base
(the
p
-type region in Figure 3.13).
The base region is also often referred to as the
absorber region
since the emitter region
is usually very thin and most of the light absorption occurs in the base. This basic
structure will serve as the basis for deriving the fundamental operating characteristics of
the solar cell.