Handbook of Photovoltaic Science and Engineering

Figure 4.7
(a) Schematic of an ideal TPV converter with the elements inserted in loss-free
reflecting cavities and (b) illustration of the thermodynamic fluxes involved. In the
monochromatic case,
˙
E
s
≡ ˙
E(T
s
,
0
,
0
,
∞
, H
rs
)
,
˙
E
r
≡ ˙
E(T
r
,
0
,
0
,
∞
, H
rs
)
,
˙
E
r
≡ ˙
e(ε, T
r
,
0
, H
rc
)ε
,
˙
E
c
≡ ˙
e(ε, T
a
, qV , H
rc
)ε

---

136
THEORETICAL LIMITS OF PHOTOVOLTAIC CONVERSION
On the other hand, the radiator is illuminated by a bundle of rays, coming from
the sun, of ´etendue
H
sr
=
H
rs
and by the radiation emitted by the cell itself, of ´etendue
H
cr
=
H
rc
. Also, the cell may emit some radiation into the cavity, which returns to the
cell again. This radiation is therefore not accounted for as an energy loss in the cell.
In addition, we shall assume that the cell is coated with an ideal filter that allows only
photons with energy
ε
and within a bandwidth
ε
to pass through, while the others are
totally reflected. In this situation the energy balance in the radiator becomes
˙
E(T
s
,
0
,
0
,
∞
, H
rs
)
+ ˙
e(ε, T
a
,
qV
, H
rc
)ε
= ˙
e(ε, T
r
,
0
, H
rc
)ε
+ ˙
E(T
r
,
0
,
0
,
∞
, H
rs
)
(
4
.
55
)
where the first equation member is the net rate of energy received by the radiator and the
second member is the energy emitted.
Using
˙
e(ε, T
r
,
0
, H
rc
)ε
− ˙
e(ε, T
a
,
qV
, H
rc
)ε
=
εi/q
=
ε
˙
w/(
qV
)
, where
i
is the current extracted from the monochromatic cell and

˙
w
is the electric power deliv-
ered, it is obtained that
ε
˙
w
qV
=
H
rs
σ
SB
π
(T
4
s
−
T
4
r
)
⇔
ε
2
i
qH
rc
ε
=
H
rs
ε
H
rc
ε
σ
SB
π
(T
4
s
−
T
4
r
)
(
4
.
56
)
This equation can be used to determine the operation temperature of the radiator,
T
r
, as
a function of the voltage
V
, the sun temperature
T
s
, the energy
ε
and the dimensionless
parameter
H
rc
ε/H
rs
ε
. Notice that the left-hand side of equation (4.56) is independent
of the cell ´etendue and of the filter bandwidth (notice that
i
∝
H
rc
ε
).
Dividing by
H
rs
σ
SB
T
4
s
/π
, the solar input power, allows expressing the efficiency
of the TPV converter as
η
=
1
−
T
4
r
T
4
s
qV
ε
=
1
−
T
4
r
T
4
s
1
−
T
a
T
c
(
4
.
57
)
where
T
c
is the equivalent cell temperature as defined by equation (4.24). As presented
in Figure 4.8, this efficiency is a monotonically increasing function of
H
rc
ε/H
rs
ε
. For
(H
rc
ε/H
rs
ε)
→ ∞
,
i
→
0 and
T
r
→
T
c
. In this case an optimal efficiency [40] for
T
s
=
6000 K and
T
a
=
300 K is found to be 85.4% and is obtained for a temperature
T
c
=
T
r
=
2544 K. This is exactly the same as the optimum temperature of an ideal solar
thermal converter feeding a Carnot engine. In reality, the ideal monochromatic solar cell is
a way of constructing the Carnot engine. This efficiency is below the Landsberg efficiency
(93.33%) and slightly below the one of an infinite stack of solar cells (86.8%).
It is worth noting that the condition
(H
rc
ε/H
rs
ε)
→ ∞
requires that
H
rc
H
rs
,
and for this condition to be achieved, the cell area must be very large compared to the
radiator area. This compensates the narrow energy range in which the cell absorbs. This
is why a mirrored cavity must be used in this case.
4.5.3 Thermophotonic Converters
A recent concept for solar conversion has been proposed [3] with the name of thermopho-
tonic (TPH) converter. In this concept, a solar cell converts the luminescent radiation

---

VERY HIGH EFFICIENCY CONCEPTS
137
10
2544 K
85.4%
(
∆
e
H
rc
)/(
e
H
rs
)
1
100
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
100
90
80
70
60
50
Efficiency 
h
[%]
Temperature of the radiator 
T
r
[K]
40
30
20
10
0
Figure 4.8
TPV ideal converter efficiency versus
H
rc
ε/H
rs
ε
. The energy
ε
and the cell voltage
V
are optimised
Hot cell
(LED)
Cold cell
Cavity
Concentrator
A
i
inlet
A
r
A
c
Cold
cell
Hot cell (LED) 
T
r
Environment at 
T
a
E
r
′
E
c
·
Q
c
·
W
c
·
W
·
W
r
·
·
E
r
·
E
s
·
(b)
(a)
Figure 4.9
Diagram of the TPH converter with cavity. In (b), the energy fluxes are given
by
˙
E
s
≡
E(T
s
,
0
,
0
,
∞
, H
rs
)
,
˙
E
r
≡
E(T
r
, qV
r
,
0
,
∞
, H
rs
)
,
˙
Q
r
= ˙
E
s
− ˙
E
r
,
˙
E
r
≡
E(T
r
, qV
r
,
0
,
∞
, H
rc
)
,
˙
E
c
≡
E(T
a
, qV
c
, ε
g
,
∞
, H
rc
)
emitted by a heated light emitting diode (LED) into electricity. A diagram of this device
is found in Figure 4.9. As in the TPV device, the LED can be heated with a fuel, but in
our context it is heated as well with radiation absorbed from the sun. To emit luminescent
radiation, the LED absorbs electric power,
˙
W
r
, in addition to the power delivered from
the photons that illuminate the absorber. This power is to be subtracted from the electric
power converted by the solar cell
˙
W
c
.

---

138
THEORETICAL LIMITS OF PHOTOVOLTAIC CONVERSION
As a mater of fact, this converter is a generalisation of the TPV converter. If the
LED is in short circuit, the TPH converter is exactly the same as the TPV converter. The
application of a voltage to the LED changes the converter properties.
Ideal LEDs are like solar cells. Thus, to describe the ideal TPH converter, we shall
refer to the LED as the hot cell, as opposed to the electric power generator, which is the
cold cell. When they are considered as ideal devices, the current–voltage characteristics
of both, the LED and the solar cell, are the same. This causes the current passing by the
cold cell to be faithfully replicated (with the sign changed) by the hot cell, owing to the
reciprocal illumination of both devices, as expressed by the two following equations:
I
c
/q
= ˙
N (T
r
, qV
r
, ε
g
,
∞
, H
rc
)
− ˙
N (T
a
, qV
c
, ε
g
,
∞
, H
rc
)
(4.58)
I
r
/q
= ˙
N (T
a
, qV
c
, ε
g
,
∞
, H
rc
)
− ˙
N (T
r
, qV
r
, ε
g
,
∞
, H
rc
)
(4.59)
We shall use the subindex
c
for the cold solar cell current and voltage and
r
for the hot
solar cell. The power generated by each cell is
˙
W
c
=
I
c
V
c
and
˙
W
r
=
I
r
V
r
. In a normal
operation,
I
r
is negative and the power generated by the hot cell is negative.
The application of the first law of thermodynamics to the cold and the hot cell,
respectively, leads to
˙
E(T
r
, qV
r
, ε
g
,
∞
, H
rc
)
= ˙
E(T
c
, qV
c
, ε
g
,
∞
, H
rc
)
+ ˙
W
c
+ ˙
Q
c
(4.60)
˙
Q
r
+ ˙
E(T
c
, qV
c
, ε
g
,
∞
, H
rc
)
= ˙
E(T
r
, qV
r
, ε
g
,
∞
, H
rc
)
+ ˙
W
r
(4.61)
where
˙
Q
c
is the heat rate delivered by the cold cell in the heat sink, while
˙
Q
r
= ˙
E(T
s
,
0
,
0
,
∞
, H
rs
)
− ˙
E(T
r
,
0
,
0
,
∞
, H
rs
)
=
H
sr
σ
SB
π
(T
4
s
−
T
4
r
)
(
4
.
62
)
is the heat injected by the sun into the hot cell. The sum of equations (4.60) and (4.61)
leads to
˙
Q
r
− ˙
Q
c
= ˙
W
r
+ ˙
W
c
=
I
r
(V
r
−
V
c
)
=
I
c
(V
c
−
V
r
)
= ˙
W
(
4
.
63
)
where
˙
W
is the algebraic sum of the powers produced by both cells (usually the hot cell
will be absorbing, not producing, power).
In the case of monochromatic cell and LED operation, a proper filter of bandwidth
ε
and centred at the energy
ε
is to be located somewhere in the optical system to allow
for an interchange of photons only within the filter bandwidth. The preceding equations
can be easily particularised in this case. An interesting relationship holding in this case,
˙
eε
=
ε
˙
nε
≡ ˙
E
, allows for a simple expression of the heat rate in both cells,
˙
Q
r
=
(V
r
−
ε/q)I
r
(4.64)
˙
Q
c
=
(ε/q
−
V
c
)I
c
(4.65)

---

VERY HIGH EFFICIENCY CONCEPTS
139
and this allows for writing the efficiency, using the equations (4.63) to (4.65) as
η
=
˙
Q
r
H
sr
σ
SB
T
4
s
/π
˙
W
˙
Q
r
=
1
−
T
4
r
T
4
s
1
−
˙
Q
c
˙
Q
r
=
1
−
T
4
r
T
4
s
qV
c
/ε
−
qV
r
/ε
1
−
qV
r
/ε
(4.66)
As said before, the TPH converter has an extra degree of freedom in the design, as
compared to the TPV. It is the hot cell voltage
V
r
. The hot cell temperature in the
monochromatic case depends on the same parameter
H
rc
ε/H
rs
ε
as in the TPV case.
When this parameter tends to infinity, the cold cell tends to be in open circuit,
V
coc
,
given by
(ε
−
qV
coc
)
kT
a
=
(ε
−
qV
r
)
kT
r
⇒
qV
coc
=
ε
1
−
T
a
T
r
+
qV
r
T
a
T
r
(
4
.
67
)
Using this equation in equation (4.66), we obtain the same limit equation for the efficiency
as the one for the TPV converter (equation 4.57):
η
=
1
−
T
4
r
T
4
s
1
−
T
a
T
r
(
4
.
68
)
An interesting feature of this formula is that it holds for any value of
V
r
. Thus the TPH
converter has the same upper limit as the TPV one. Furthermore,
T
r
is the same as in
the TPV.
To our knowledge, this novel concept has not yet been fully explored. However,
we present in Figure 4.10 the efficiency versus the cold cell voltage
V
c
(usually, in other
contexts, we call efficiency to the maximum of this curve) for
V
r
in forward bias, zero bias
(TPV mode) and reverse bias. In Figure 4.11, we present the hot cell temperature. We can
LED bias 
+
0.5 V, 
e
=
1.376 eV
LED bias 
+
0 V,
e
=
1.353 eV
LED bias 
−
0.5 V, 
e
=
1.464 eV
63.5%
−
0.5
0.0
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0.5
Cell voltage 
V
[V]
Efficiency 
h
[%]
1.0
1.5
75.9%
82.2%