Halqa va algеbralar, yarim halqa, algеbra

3-Teorema. yarim halqa o`z ichiga olgan minimal halqaning har bir elementi yarim halqadan olingan son chekli o`zaro kesishmaydigan to`plamlarning yig`indisidan iborat ya`ni har bir ushbu ko`rinishga ega:

SH,

Isbot. orqali yarim halqaning o`zaro kesishmaydigan soni chekli elementlarining yig`indisidan tuzilgan to`plamlar sistemasini belgilaymiz. sistema halqa tashkil etadi. Haqiqatdan, agar va bo`lsa, holda sistemaning ta`rifidan asosan ular quyidagi ko`rinishga ega.

(1)

Yarim halqaning ta`rifiga asosan va munosabatlardan munosabat bevosita kelib chiqadi. Endi to`plamlarning ta`riflanishidan va munosabat o`rinli ekanligi ravshan. Bu munosabatlardan yarim halqaning ta`rifiga asosan quyidagi tengliklarni yozish mumkin

va (2)

Bu yerda va bo`lib, ular soni chekli bo`lgan va o`zaro kesishmaydigan to`plamlardir. Endi (1) va (2) munosabatlardan foydalanib, A va B to`plamlarning quyidagi ko`rinishda yozishimiz mumkin:

va

Bu tengliklardan hamda , va to`plamlarning o`zaro kesishmaganligidan quyidagi tengliklar kelib chiqadi

va

Bundan hamda , va to`plamlarning o`zaro kesishmaydigan soni chekli to`plamlar ekanligidan ushbu

va

Munosabatlar kelib chiqadi. Demak, sistema halqa tashkil qilar ekan. Bu halqa sistemaning o`z ichiga olgan barcha halqalar orasida minimal halqa ekanligi uning tuzilishidan ko`rinadi. Chunki sistemani o`z ichiga olgan har qanday halqaga (1) ko`rinishidagi barcha to`plamlar kiradi.

Ko`pchilik masalalarda sistemaning soni sanoqli elementlarining yig`indisi va kesishmasini qarashga to`g`ri keladi shu tufayli quyidagi ta`rifni kiritamiz