Halqa ta’rifi va uning xossalari

2.4. GOMOMORF VA IZOMORF HALQALAR
Ta’rif. A va B halqalar elementlari orasida biror moslik o’rnatilgan bo’lib, bu moslik bir qiymatli bo’lsa hamda quyidagi shartlar bajarilsa A halqa B ga gomomorf (izomorf) deyiladi:

1. a,b  A, a^,b^  B
2. a,b  A,a^,b^  B
a ^  a^ 
a ^ a^ 
b ^b^ 
b ^b^ 
a  b ^ a^  b^; ab ^ a^b^.

A halqaning B halqaga gomomorfligi (izomorfligi) belgilanadi.
A  B
( A  B)
kabi

1-teorema. Ixtiyoriy H halqa va qo’shish hamda ko’paytirish amallari

aniqlangan K ^ to’plam uchun H  K^
bo’ladi.
bo’lsa, u holda K ^ to’plam halqa

Isboti. Teorema sharti bo’yicha H  K^ bo’lib, H halqadir. K ^ da ikkita
algebraik amal aniqlangan va yopiq bo’lsin. Biz K ^ ning ham halqa
ekanligini ko’rsatishimia kerak. Buning uchun K ^ dan ixtiyoriy uchta a^, b^, c^

elementlarni olib, ular uchun ham halqaning barcha aksiomalari o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.
Biz shulardan quyidagi ikitasini keltiramiz:

1. 
   a^  (b^  c^)  a^  b^  a^  c^ - ko’paytirishning qo’shishga nisbatan
   

distributivligi.

2. 
   a^  x^  b^ tenglamaning yechimga egaligi.
   

1. 
   H halqa bo’lgani uchun
   

a(b  c)  ab  ac
shart bajariladi.

a ^ a^, b ^b^, c ^c^ bo’lsin. Bu moslik H ning K ^ ga gomomorfligiga

asosan qo’shish va ko’paytirishda ham saqlanadi. Shuning uchun

(a ^ a^)  (b ^b^)  (c ^c^)  (a(b  c)  ab  ac)  a^  (b^ c^) 
 a^  b^ a^ c^.

2. ^{(a  a)  (b  b)  (x  x)  (a  x  b)  (a  x  b)}
(x  H
, x^ K ^) .

Boshqa aksiomalar ham xuddi shu usulda isbotlanadi. Demak, K ^ to’plam halqa ekan.
2-teorema. H halqa bo’lib, K ^ ga gomomorf bo’lsa,
1. ( ^  ^)  ((a)  (a)^) ( ;  a H , 0^;a^  K ^).

2. 
   H birlik elementga ega bo’lsa, K ^ ham birlik elementga ega bo’ladi va
   

e ^ e^
(e  H , e^  K ^)
bo’ladi.