Halqa ta’rifi va uning xossalari

HALQA HARAKTERISTIKASI

1-ta’rif. H halqa uchun biror M qism to’plam H da aniqlangan qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa bo’lsa, u holda M qism to’plam H halqaning qism halqasi deyiladi.
Masalan, juft sonlar to’plami butun sonlar halqasi uchun qism halqa bo’lib, butun sonlar to’plami esa ratsional sonlar halqasining qism halqasidir.
Quyidagi teorema H halqaning biror M qism to’plami halqa bo’lish- bo’lmasligini aniqlashda muhim ahamiyatga ega.
Teorema. H halqaning biror bo’sh bo’lmagan M qism to’plami qism halqa bo’lishi uchun M ga tegishli a va b elementlarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi yana qism to’plamga tegishli bo’lishi zarur va yetarli.

Isboti. 1) Zaruriylik sharti. Faraz qilaylik, a, b  M bo’lganda

a  b  M,
a  b  M,
a  b
 M bo’lsin .M  H ekanligini ko’rsatamiz

.Haqiqatan, har qanday
a  M va
b  M uchun
a  b  M va
a  b  M

bo’lgani sababli mos ravishda
a  b , a  b
ni M dagi a va b elementlarni

qo’shish va ko’paytirish amallari deb olishimiz mumkin.
Endi M to’plamning halqa ekanligiga ishonch hosil qilish uchun unda halqaning barcha aksiomalari bajarilishini ko’rsatish kifoya.
M to’plam H ning qism to’plami bo’lganligidan unda halqa ta’rifining 1- guruh aksiomalaridagi c) qismidan boshqa barchasi o’rinli. Biz hozir c) aksiomaning aksiomaning ham o’rinliligini ko’rsatamiz.

Teorema shartiga asosan
a  M va
b  M ekanligidan
b  a  c 

M, ikkinchidan H halqada
c) aksioma ham o’rinli.
a  (b  a)  b
yoki
a  c  b
bo’ladi. Shunday qilib

Demak, M to’plam H halqaning qism halqasi ekan.

Eslatma.
a  b  a  (b)
bo’lgani uchun teoremadagi birinchi shartni,

ya’ni
a  b  M
shartni olmasdan, qolgan ikkita shart bilan qanoatlansak

ham bo’ladi.
2) Yetarlilik sharti. M qism halqa bo’lsin.U holda M da teoremadagi uchta shartning bajarilishi halqa aksiomalariga asosan kelib chiqadi.
Birlik elementga ega bo’lgan H halqa berilgan bo’lsin. Biz o’z oldimizga birlik elementni o’z ichiga oluvchi va boshqa barcha qism halqalar uchun qism halqa bo’ladigan, ya’ni eng kichik qism halqani toppish vazifasini qo’yamiz. Bu qism halqada e birlik element bo’lsa, u

holda

• 
  e element ham bo’ladi. U holda
  

^{ne  e}_^_^e _^ _^{e }_^_^_^e va