Guruh talabasi Nasriddinov Xorunboyning Diferensial tenglamalar fanidan

Teorema 5. 2 va uning natijasiga asosan (9), (1) tenglamaning yechimi bo’ladi. (9) dan marta hosila olib, so’ngra unda desak (8)ga asosan
(10)
ga ega bo’lamiz. (10) boshlang’ich qiymatlar mavjudlik teoremasiga asosan, (1) tenglama faqat yechimga ega bo’lishligini ko’rsatadi. U holda (9) dan, ning oralig’idagi hamma qiymatlari uchun

ayniyatga ega bo’lamiz ya’ni lar chiziqli bog’langan.Bu qarama-qarshilik teoremani to’g’riligini isbot etadi.
Ta’rif. –chi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning ta chiziqli bog’lanmagan yechimlariga, tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi deyiladi.
Teorema 6. Koeffisiyentlari uzluksiz bo’lgan har qanday -chi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar, fundamental yechimlar sistemasiga ega.
Isbot. n² ta (i,k= ) sonlaridan nolga teng bo’lmagan determinant tuzamiz.
(11)
(1) tenglamaning xususiy yechimlarini bo’lganda boshlang’ich shartlar yordamida aniqlaymiz. U holda (11) ga asosan ulardan tuzilgan Vronskiy determinanti nolga teng bo’lmaydi. 4 teoremaga asosan, ko’rilayotgan oraliqda ning hamma qiymatlarida ham Vronskiy determinanti nolga teng bo’lmaydi. Demak bu ko’rilayotgan oraliqda funksiyalar chiziqli bog’lanmagan bo’ladilar, ya’ni ular tenglamaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.
Misol:
da ular fundamental yechimlar sistemasi tashkil etadi.
Teorema 7. Agar (1) tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi bo’lsa, u holda tenglamaning umumiy yechimi.
(12)
dan iborat. o’zgarmas sonlar.
Isbot. Ma’lumki ixtiyoriy ta o’zgarmas sonlarga bog’liq bo’lgan ifodadan ixtiyoriy o’zgarmaslarni ma’lum bir qiymatlarida tenglamaning hamma xususiy yechimlari kelib chiqsa bunday ifoda tenglamaning umumiy yechimi bo’lar edi.
Ma’lumki xususiy yechimlar boshlang’ich shartlar yordamida bir qiymatli aniqlanadi. (mavjudlik va yagonalik teoremasiga asosan) bo’lganda
(13)
ixtiyoriy sonlar,
(12) ning umumiy yechim ekanligini isbotlash uchun undagi larni shunday aniqlash mumkin bo’lsaki, (13) boshlang’ich shartlar bajarilsin. (12) dan ketma-ket marta hosila olib, ularning x=x₀ dagi qiymatlarni aniqlaymiz.
(14)
Agar (14) sistemada larni noma’lum deb qarasak, (15) bir jinsli bo’lmagan algebraik tenglamalar sisitemasini tashkil etadi. Bu sisitemaning asos determinanti Vronskiy determinatida x o’rniga x₀ qo’yilgan determinatidan ya’ni iborat bulib, u 4 teoremaga asosan nolga teng emas; .Shuning uchun (14) sisitemadan lar bir qiymatli aniqlanadi.
ning bu topilgan qiymatlarida (12), boshlang’ich (13) shartni qanoatlantiradi.
Demak (12) ifoda (1) tenglamaning umumuiy yechimidir.