Guruh talabasi Esonaliyeva Ozodaxonning Differensial tenglamalar va matematik fizika fanidan

Giperbolik tipdagi bir o’lchovli tenglamani sonli yechish haqida umumiy tushuncha.

Chiziqli giperbolik tipdagi tenglama uchun boshlang’ich chegaraviy masalalar yechimlarining integral ifodasini olish uchun kerakli bo’lgan ayrim yordamchi formulalarni keltiramiz.
Faraz qilaylik,
(1)
chiziqli giperbolik tenglamaga mos differensial operator bo’lsin.
Bu yerda a(x,y),b(x,y) va c(x,y) qaralayotgan operatorning koeffitsiyentlari, biror sohada berilgan funksiyalar bo’lib, ular a(x,y), b(x,y) va c(x,y) bo’lsin.
operatorni biror v(x,y) funksiyaga ko’paytiramiz va buning uchun quydagi ayniyat o’rinli:
(2)
Bu yerda
(3)
va

.
(3) formula bilan aniqlangan operator operatorga qo’shma operator deyiladi.
Agar ayirmani biror H va K ifodalarning mos ravishda x va y o’zgaruvchilar bo’yicha xususiy hosilalarining yig’indisi ko’rinishida ifodalash mumkin bo’lsa, u holda ikkita va differensial operatorlar o’zaro qo’shma operatorlar deyiladi.
Agar = bo’lsa u holda o’z-o’ziga qo’shma operator deyiladi.
tekislikda S bo’lakli silliq chiziq bilan bilan chegaralangan soha D bo’lsin. Endi (2) ayniyatni D sohada integrallaymiz va unga matematik analiz kursidan ma’lum bo’lgan Grin formulasini qo’llaymiz.
Natijada
(4)
Ifodaga ega bo’lamiz. Bu formula ham ikki o’lchovli Grin formulasi deyiladi.
Riman usuli.Nemis matematigiR.Riman chiziqli giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Koshi va Gursa masalalarining yechimini qurish usulini tavsiya qilgan.
Quyidagi Koshi masalasini qaraylik. Koshi masalasi.Yopiq sohada aniqlangan, uzluksiz va
, (5)
Funksiyalar sinfiga tegishli
(6)
Tenglamaning quyidagi
(7)
Shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,y) yechimini toping. Bu yerda a(x,y), b(x,y) – uzluksiz va birinchi tartibli hosilalarga ega, c(x,y) va f(x,y) - uzluksiz funksiyalar, - berilgan funksiyalar, n esa egri chiziqqa o’tkazilgan normal.
Ma’lumki, (6) tenglamaga mos xarakteristik tenglama bo’lib, to’g’ri chiziqlar tenglamaning xarakteristikalari bo’ladi.