Guruh talabasi akbaRov Nurilloning algebra va sonlar

Misollar. a) xaqiqiy sonlar to`plamida qo`shish “” amali, ko`paytirish “” amali, ayirish

“” amali; b) f : X  X , g : X  X funktsiyalar uchun h(x)=g( f(x)) xX tenglik bilan

aniqlangan g f : X  X kompozitsiyani mos qo`yadigan akslantirish;

v) Mulohazalar algebrasida aniqlangan  va  amallar;

g) Barcha to`plamlar orasida aniqlangan  va  amallar

• Gruppa ta’rifi, asosiy xossalari.
• Chekli yoki cheksiz G to`plamda bitta algebraic amal aniqlangan deb faraz
• qilamiz. Demak, bu amal Gto`plamda bajariluvchan va bir qiymatlidir. Bu yerda
• ham algebraic amalni ko`paytirish deb atab, istalgan ikkita
• a,bGelement ko`paytmasini a  bbyoki Babko`rinishda belgilaymiz. Shunday qilib, a,bGelement ko`paytmasi
• Gning yagona elementiga tengdir. 1-ta’rif. Quyidagi ikkita aksiomaga bo`ysunuvchi chekli yoki cheksiz
• Gto`plam yarimgruppa deyiladi:
• 1) a,bG(a,bGva bir qiymatli);
• 2) a,b,cG ((ab)c  a(bc)).

• Quyidagi to`rtta aksiomaga bo`ysunuvchi chekli yoki cheksiz G to`plam gruppa deyiladi:
• 1) a,bG( a,bGva bir qiymatli) ( G da algebraic amal aniqlangan);
• 2) a,b,cG ((ab)c  a(bc))(Gda ko`paytirish assosiativ);
• 3) aeG (ae  a) (Gda o`ng birlik element mavjud);

4) axG (ax  e(har bira Gelement uchun Gda o`ng teskari elemmav mavjud) a,b,c,d,...elementlardan tuzilgan G

gruppa G {a,b,c,d,...}ko`rinishda belgilanadi.

• Qism gruppa. Ta’rif. Ggruppaning Hqism to`plami Gdagi algebraic
• amalgam nisbatan gruppa tashkil etsa, Hni Gning qism gruppasi ddagi qism gruppa) deyiladi.
• Teorema. Ggruppaning qism to`plami Gda qism gruppa tashkil etishi uchun quyidagi ikkita shart bajarilishi zarur va yetarli;

1. h,hH (hhH)(Gagi algebraik amal Hda ham algebraik amaldir);

• 2. ( )1 h  H h  H(Hning istalgan helementiga teskari 1helement ham Hga arashli).sboti. 1. Hgruppa (Gdagi qism gruppa) bo`lsa, yuqoridagi ikkita shart albatta bajariladi.
• 2. Ikkala talab ham bajariladi desak, h  Guchun hh  e H1bo`ladi. Endi H  Gga ko`ra h,h,hHuchun (hh)h h(hh)ham bajariladi. Teorema isbot bo`ldi.

• Gruppa va qism gruppasining tartibi haqidagi Lagranj teoremasi.
• Lagranj teoremasi. Har qanday chekli gruppada ixtiyoriy qism gruppaning tartibi gruppa tartibining bo`luvchisidir.Haqiqatan ham, cheklin  tartibli G
• gruppada k  tartibli Aqism gruppa berilgan bo`lsin. Ggruppaning Aqism gruppa bo`yicha chap tomonlama yoyilmasini ko`ramiz. U ja sinfdan tashkil topgan bo`lsin. J
• son Ggruppada Aqism gruppaning indeksi deyiladi. Har bir xAchapki qo`shni sinf roppa-rosa kta elementdan tashkil topgan, chunki agar1 2xa  xabo`lsa, bu yerda
• a1va a2  Aning elementlari, u holda a1  a2bo`ladi, shunday qilib,n  k
• shuni isbotlash talab qilingan edi.