Gruppa tushunchasi

4. Birinchi misoldagidek, ratsional sonlar to`plami qo`shish amaliga nisbatan cheksiz kommutativ gruppalar tashkil etadi.

5. 1 sonidan olingan darajali ildizlar to`plami ko`paytirishga nisbatan chekli kommutativ gruppadir.

Xaqiqatdan, uchun va bir qiymatli; uchun bajarilishi ravshan; birlik element bir soni bo`ladi, ga teskari element bo`ladi, chunki ham 1 ning darajali ildizidir.

6.sonli maydon ustida ikkita () tartibli matritsa yig`indisi yana maydon ustida () bo`lgani uchun bir qiymatli ravishda shu to`plamga qarashlidir; istalagn uchta () matritsani qo`shish assotsiativdir; birlik element vazifasini nol matritsa bajaradi; xar bir

matritsaga teskari

matritsa mavjud.

7.sonli maydon ustida xosmas matritsalar to`plami matritsalarni ko`paytirishga nisbatan cheksiz kommutativ gruppa tashkil qiladi.

Xaqiqatdan ham , ning istalgan va ikkita matritsasi uchun

bo`lganidan asosan va bir qiymatlidir; uchun ekanini bilamiz; birlik element birlik matritsa bo`ladi; ga teskari element matritsa bo`ladi. Umuman , ekenligi malum.

8. ta ta raqamdan tuzilgan ta o`rniga qo`yish to`plami gruppa aksiomalariga ko`ra , o`rniga qo`yishlarni ko`paytirish amaliga nisbatan gruppa xosil qiladi. Bu chekli va larda nokommutativ gruppadir.

ni darajali simmetrik gruppa deyiladi.

Qism gruppa

Ta`rif. gruppaning qism to`plami dagi algebraik amalga nisbatan gruppa tashkil etsa , ni ning qism gruppasi ( dagi qism gruppa) deyiladi.

Teorema. gruppaning qism to`plami da qism gruppa tashkil etishi uchun quyidagi ikkita shart bajarilishi zarur va yetarli:

1. ( dagi algebraik amal da ham algebraik amaldir);

2. ( ning istalgan elementiga teskari element ham ga qarashli).

G gruppa o`zining qism gruppasidir.

birlik element ningqism gruppasi bo`ladi, chunki bu bita elementdan tuzilgan qism to`plam qism gruppa bo`lish shartlarini qanoatlantiradi. birlik qism gruppa deyiladi.

gruppa o`zining xosmas qism gruppasi, ning qolgan hamma qism gruppalari esa uning xos (haqiqiy) qism gruppalari deyiladi.

chekli gruppaning har bir qism gruppasi ham cheklidir. cheksiz gruppa chekli va cheksiz qism gruppalarga ega. Masalan chekli qism gruppa , ning o`zi cheksiz qism gruppa.

komutativ gruppaning istalgan qism gruppasi kommutativdir. nokomutativ gruppa esa kommutativ va nokommutativ qism grupalarga ega. Masalan, birlik element kommutativ qism gruppa bo`lib, ning o`zi nokommutativ qism gruppadir.

Misollar. 1. Qo`shish amaliga nisbatan kompleks sonlar gruppasi uchun butun sonlar gruppasi, ratsional sonlar gruppasi va xaqiqiy sonlar gruppasi cheksiz xos qism gruppalar bo`ladi.

2. Ko`paytirish amaliga nisbatan noldan tashqari barcha kompleks sonlar gruppasi uchun noldan tashqari barcha ratsional sonlar gruppasi cheksiz xaqiqiy qism gruppa. esa chekli xaqiqiy qism gruppa bo`ladi ( ning gruppa ekanini tekshirib ko`ring).