Горный вестник Узбекистана 2006 №4

n n
гральным определением функции Бесселя [2]:

Подставив (5) в (4) и, приравняв коэффициенты при соответствующих гармониках, получим обык- новенное дифференциальное уравнение Бесселя:

r ^-2V"_n + r ^{- 1}V ^׳ _n+ (k ² r ² - n²)V_n= 0,

2
2i ⁿ I _n ()  _ e^{i cos} sin nd.
0
Тогда получим,



которое имеет частное решение в виде цилиндриче- ской функции Z_n(kr). Тогда окончательное решение системы (1) запишется в виде:
где:
 ⁽¹⁾  A__n i ⁿ I _n ( ₂ r) cos ne^it ,

1
n0
_{n  {1, n  0;2, n  1}} , I_n -цилиндрическая функция


U_r = _A_n Z_n(αr) cos пθe ^it n0





U_θ = _ B_n Z_n (βr)sin п θе ^it .
n0
Бесселя первого рода [1].
Потенциалы волн, отраженных от трубы в грунт, дальше имеют вид (6) и в то же время удовлетво- ряют условиям излучения (7), поэтому, согласно [1]
6) записываются в виде:




 ^{( к )}  _ A H ⁽¹⁾ ( r ) cos ne^it ;

1 n n 1
т0

n
Теперь, подставим решения (4) в (г   ) усло- вия излучения Зоммерфельда [1], который имеет
 ^r  _B H ⁽¹⁾( r ) sin ne^it ;



1 n n 1
n 0

вид:
φֽψ = 0 (1/
^{), φr}  i  0(1/ ⁾
где: Н ⁽¹⁾ - цилиндрическая функция Ханкеля перво- го рода [1]. Суммарные потенциалы в грунте равны:

^φ r ^{ i  0(1/}
) (7а)
   ⁽ⁱ⁾   ⁽ⁱ⁾ ;    ^{(r )} .

¹ 1 1 ¹ 1

При r =R условие идеального контакта грунта с трубой.
^Ur1^│r= R ₀ ^{= U} r 2 ^│ r= R ₀ ^{; U} _{ 2} ^│ r= R ₀ ^{= U} _{ 2} ^{│ ;} r= R ₀
σ_rr1│ _{r= R 0} =σ_rr2│; σ _{к 1} │ _{r= R 0} =σ _{к 2} │_{r= R 0} (7б)
Преломленные в трубе волны в начале распро- страняются по направлению к центру трубы, а по- том, отражаясь, идут в обратном направлении. По- этому они должны удовлетворять условиям излуче- ния (1а):

При r=R

условие идеального контакта трубы




2 ^{n 2}
n n 2

_ (r ) _
0
n0
[C_n H ⁽¹⁾ ( r)  F H ⁽²⁾ ( r)]sin ne^it ,

с водой:

(r )
(1)
(2)
it
(9a)

U U
 ₂
(2)
 _[C_n H_n ( ₂ r)  F_n H_n
n0
( ₂r)]sin ne ,

^{r 2 │} r  R ^{= r 3 │} r  R ^;
где: Н_n (а)- цилиндрическая функция Ханкеля вто-

t ⁰ t ⁰
рого рода n-го порядка. Потенциал скоростей в сжимаемой жидкости имеет вид:

σ_rr2│_{r=R 0} = σ _rr3│ _{r  R0} ; σ _{r 2} │ _{r  R0} =0, (7с)
где: индексы 1,2 и 3 соответствуют грунту, трубе и
  _ G I
( r)]cos ne^it .
(9б)

жидкости.
Отметим, что в случае скользящего контакта грунта по поверхности трубы, последнее уравнение

7. 
   примет вид: σ _{r 1} =0. Кроме того, в случае отсут- ствия жидкости в трубе первое уравнение (7с) за- пишется в виде:  _{rr 2} ⁼0, а третье уравнение исчез- нет.
   

Учитывая полученные соотношения, выведем решение краевой задачи для случая падения на под-
3 n n 3


т0
Компоненты с индексом "3" (жидкость) получе- ны согласно [1, 2] с помощью линеаризованного интеграла Коши-Лагранжа для гидродинамического давления идеальной жидкости.


Подставив (9) в (1), получим окончательное ре- шение поставленной задачи для случая падения на подземную трубу Р-волны:
    _[    ² (AE i ⁿI ( r )  A H ⁽¹⁾ ( r ) 

земную трубу волны сжатия. Волновой потенциал
rr 1
вв1
1 1
n 0
n n 1
n n 1

такой волны имеет вид:
 2 r ^1(AE i ⁿ I ¹ ( r )  A H ⁽¹⁾ ( r ) ) 

1 n n 1 1 n n 1 1

_ (1) _{ Ae}i(₁xt) _,
(8)
 2 r ^2 n ² (AE i ⁿ I ¹ ( r )  A H ⁽¹⁾ ( r ) 

¹ 1 n n 1
n n 1

где: А -амплитуда падающей Р- волны. Запишем (8)
 2 r ^2 nB H ⁽¹⁾ ( r )  2 r ^1B ; H ⁽¹⁾ ( r ) ]  cos ne ^it

1 n n 1 1 n n 1 1


  _ [d  ² (C H ⁽¹⁾ (r )  DH ⁽²⁾ ( r )) 
пендикулярно к оси трубы. Волновой потенциал

rr 2


n 0
2 2 n n n 1
такой волны имеет вид [3]:

 2 r ^1(C H ⁽¹⁾ ( r )  2 r ^2 n ² (C H ⁽¹⁾ (
r ) 


1. 
   n
   

it

2 n n 2 2 2
n n 2
 ₁  B_ E_ni
I_n ( _nr) sin ne ,

 D H ⁽¹⁾ ( r )  2 r ^2 n(E H ⁽¹⁾ (
r )  F H ⁽²⁾ ( r )) 
n0

n n 2 2
n n 2
2 n n 2
n n 2

2 n n 2 2
 2 r ^1n(E H ⁽¹⁾ ( r )
 F H ⁽²⁾ ( r )
)] cos ne ^it ,
где: В-амплитуда потенциала падающей SV - вол- ны.

1

1

1
Вид остальных потенциалов (9) остается без из- менений, а суммарные потенциалы в грунте имеют

1
вид: φ₁ = φ ⁽ⁱ⁾, ψ
_{= ψ} (i) _{+ ψ} (r)_.



Перемещение и напряжение в рассматриваемом случае принимается в виде:
U_r1  Br ^1_E_niⁿ I_n (₁r) cos ne^it ;



n0
 _rr1  2₁₁nr ^1 _ E_niⁿ [r ^1I _n (₁r)  _n (₁r)₁ ] cos ne ^it ;
n0

U_  B_ E_ni I (₁r)₁ sin ne ,

n ' it
n
n0


1
 _{r 1} B_ E_niⁿ₁[ ² I_n
(₁r)  2n ²r ^2 I_n (₁r) 

Рис. 2. Зависимость напряжения от волновых чисел
n0
 2r ^1I _n ' (₁r)₁ ]sin ne^it .


^σr _ 1= _



1 1 n n 1 1 n n 1 1
[μ β ²B H ⁽¹⁾( β r) + 2μ r ^-1B H ⁽¹⁾ (β r) β -
Остальные компоненты НДС U_r2,
U_{ 2} ,
U_{r 3} ,

n0
^ rr 2 ^,
 2 ^,
 rr3 ^{, }  3 ^,
 r 2
определяются, соот-

n

n
2μ₁r^-2n (AE_niⁿ I ^’(α₁r)+ A_nH ⁽¹⁾( α₁r)) –

n
-2μ₁r ^-n(AE_niⁿ I ^’ (α_ar) α₁+A_nH_n⁽¹⁾( α₁r) α₁)]cos nθe ^–iωt Неизвестные коэффициенты А_n, В_n, Сn, D_n, Е_n, F_n, G_n определяются из системы линейных уравнений седьмого порядка, которая получена подстановкой

9. 
   в (7) и имеет вид (матричная запись):
   

[C]{q} = {P}
где, [С]-квадратная матрица (7x7); {q}-вектор стол-
ветственно, по формулам (2). В случае проскальзы- вания грунта по поверхности трубы или отсутствия жидкости ее заполняющей, верны, соответственно, формулы (9). На рис. 2 приведены изменения ради- альных напряжений в зависимости от безразмерных волновых чисел при различных соотношениях па- раметров:

бец неизвестных величин; {P} - вектор столбец внешних нагрузок.
₁  ^{ 0}


2
_{ 0,4;}   0,25; _{E } ^E1

E
2
^{ 0,5;}  ₂  ^1 .


2

Некоторые элементы матрицы, [С] приведены ниже:

n
С₁₁=α ₁H ⁽¹⁾( α₁R); С₁₂=nR^-1 H _n ⁽¹⁾ (β₁ r); C₁₃=
=-а ₂Н_n ⁽¹⁾ (a ₂R);

n

2

15

n

2
С₁₄=- α 2H ⁽²⁾(a R); C =-nR^-1H ⁽¹⁾ (β R);

n

2

1

n

1 n

1
С₁₆ =-nR^-1H ⁽²⁾( β R); a = -АЕ iⁿ α I ¹(α R).
Заметим, что в случае проскальзывания грунта по поверхности трубы согласно (7) следует поло- жить C_2i=0, С₄₃=C₄₄=C₄₅= С₄₆=0, i = l,6.
Кроме того, в случае отсутствия жидкости в трубе: а₁=0. Рассмотрим случай падения плоской SV-волны на подземную трубу с жидкостью пер-
Из анализа полученных результатов выявлено, что
в области коротких волн распределение напряжения в трубе с жидкостью отличается до 40% (рис. 2). Расче- ты показывают, что при фиксированных значениях амплитуды и длительности действия падающей вол- ны с увеличением акустических параметров жидко- сти, прогибы и усилия также увеличиваются. Увели- чение жесткости тоннеля или его толщины приводит к снижению прогибов и к увеличению усилий. При- чем с увеличением толщины, усилия растут быстрее, чем изгибающие моменты, а изгибающие моменты быстрее, чем поперечные силы.