|
Gödel teoremalari
Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 1
Batafsil taqdimot va adabiyotlarga havolalar uchun qarang:
1. Zyuzkov VM Matematik mantiqqa kirish: darslik.
Tomsk: Tomsk davlat universiteti nashriyoti,
2017, 258 p. Elektron resurs: URL:
http://vital.lib.tsu.ru/vital/access/manager/Repository/vtls:000581547
2. Zyuzkov VM Matematik mantiqqa kirish: darslik.
2-nashr, Vah. va qo'shing. SPb.: "Lan" nashriyoti, 2018 y., 268 b.
Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 2
Kurt Gödel (1)
• Kurt Gödel (1896-1978) - avstriyalik
mantiqchi, matematik va faylasuf
matematika
Rassel tomonidan yozilgan Principia Mathematica
va Uaytxed, qat'iyan oqlangan
mantiqqa asoslangan matematik, ammo
kutilmagan hodisalar topildi
mantiqning o'zi.
Kurt Gödel buni 1931 yilda isbotlagan
cheksiz to'plam
matematik bayonotlar
haqiqat, lekin mumkin emas
aksiomalar asosida isbotlangan
Matematikaning printsipi.
U buni sinab ko'rdi
matematikani kamaytirish
aksiomalarning izchil tizimi
xuddi shu natijani beradi:
cheksiz narsa bor
ko'plab matematik haqiqatlar,
hal qilinmaydigan deb nomlangan
bayonotlar
bu bilan tasdiqlanmaydi
tizimlar.
Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 3
Kurt Gödel (2)
Birinchi natija teoremasi deb nomlangan darhol
Gödelni XX asrning buyuk matematiklari qatoriga nomzod qildi.
Ikkinchi natija ikkinchi to'liqsizlik teoremasi yoki teoremasi
izchillik, - har qanday narsaning izchilligini tasdiqlaydi
aksiomatik nazariyani yordamida isbotlab bo'lmaydi
nazariya.
Aslida Gödelning birinchi to'liqsizligi teoremasi umidlarni ko'mdi
Leybnits mumkin bo'lgan mantiqiy usul mavjudligi to'g'risida
barcha ilmiy savollarga javobni hisoblang.
Mantiq, hech bo'lmaganda hozirgi shaklida etarli emas
har qanday matematik haqiqatni, ayniqsa har qanday haqiqatni isbotlash
bizning dunyomiz.
Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 4
Rasmiy aksiomatik nazariyalar (1)
• Rasmiy aksiomatik nazariyalarni yaratish faqat qachon bo'lishi mumkin
yozish uchun rasmiy tillardan foydalanish
bayonotlar va dalillarning o'zi. Odatda shu maqsadda,
birinchi darajali tillardan foydalaniladi.
• Lekin har qanday holatda ham rasmiy sintaksis
to'g'ri iboralar qurilishini tavsiflovchi til (ularga)
odatda atamalar, formulalar, dalillarga murojaat qiling).
• Odatda, rasmiy til ham semantik bilan ta'minlangan
tizim yoki deduktiv tizim yoki ikkalasi.
• Har qanday tilning semantik tizimi yoki oddiygina semantikasi
ushbu tilning barcha formulalari orasida e'lon qilinganlarni ajratib turadi
rost; ular I ning qadriyatlari ham deyishadi.
• Bu odatda to'g'ri talqin qilish orqali amalga oshiriladi
til iboralari.
Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 5
Rasmiy aksiomatik nazariyalar (2)
Har qanday tilning deduktiv tizimi yoki oddiygina deduksiyasi
barcha formulalar orasida isbotlanadigan deb e'lon qilinganlarni ajratib turadi.
Odatda provitativlik aksiomalar va qoidalar yordamida induktiv ravishda beriladi
chiqish:
Ba'zi formulalar aksioma sifatida e'lon qilinadi.
Har bir pul olish qoidasi bir yoki bir nechtasiga taalluqlidir
formulalar va ushbu formulalardan qanday qilib yangisini olish mumkinligini ko'rsatadi
formula.
Barcha aksiomalar va formulalar
xulosa qilish qoidalari yordamida tasdiqlanadiganlardan olinishi mumkin.
Aksioma bo'lmagan isbotlanadigan formulalar deyiladi
teoremalar.
Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 6
Rasmiy aksiomatik nazariyalar (3)
• deduktiv tizim rasmiy tarzda o'rnatiladi
dalillar mavjud bo'lishi kerak:
1) berilgan ketma-ketlikni aniqlash algoritmi
rasmiy dalil bilan formulalar;
2) berilgan rasmiy dalilga muvofiq topadigan algoritm
isbotlanadigan formula.
• Agar aksiomatik nazariya semantik va deduktivni kiritsa
tizim, keyin bu isbotlangan formulalar shunday amalga oshiriladi
rost edi. Bunday holda chegirma to'g'ri deb aytiladi
semantikaga oid.
Model nazariyasi - bu talqin
nazariyaning barcha teoremalari (buning uchun barchasi kifoya qiladi
nazariya aksiomalari).
Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 7
Birinchi tartib nazariyalari (1)
• Birinchi darajali nazariya - bu birinchi darajali tilga ega nazariya
joriy qilingan haqiqat xususiyatiga ega bo'lgan tartib. Aksiomalar
birinchi darajali nazariyalar T ikki sinfga bo'linadi: mantiqiy
aksiomalar (tenglik aksiomalari bilan birgalikda) va to'g'ri (yoki
mantiqsiz).
• Mantiqiy aksiomalar: T nazariyasining A, B va C formulalaridan qat'i nazar,
quyidagi formulalar T nazariyasining mantiqiy aksiomalaridir:
• A1
... A (B A).
• A2
... (A (B C)) ((A B) (A C)).
• A3
... (B A) ((B A) B).
• A4
... x A (x) A (t), bu erda A (t) T nazariyaning formulasi, t esa atama
nazariya T, x uchun A (x) uchun bepul.
• A5
... x (A B (x)) (A x B (x)), bu erda A tarkibida erkin mavjud emas
x o'zgaruvchining paydo bo'lishi.
Zyuzkov Valentin Mixaylovich 2019 yil 8
Birinchi tartib nazariyalari (2)
Tenglik aksiomalari:
• A6
... t1 = t1
;
• A7
... t1 = t2-t2 = t1
;
• A8
... t1 = t2 & t2 = t3-t1 = t3
;
• A9
... t1 = s1 &… & tn = sn-f (t1
,…, Tn
) = f
Do'stlaringiz bilan baham: | 
