Глава Ряды с комплексными членами

Содержание

Введение……………………………………………………………………3
Глава 1. Ряды с комплексными членами……………………………...5
1.1. Основные понятия………………………………………………5
1.2. Ряды с комплексными членами………………………………..8
1.3. Абсолютная сходимость……………………………………….10
1.4. Степенные комплексные ряды………………………………...12
Глава 2. Числовые ряды с комплексными членами………………..16
2.1. Числовые ряды с комплексными членами…………………...16
2.2. Числовые и степенные ряды с комплексными членами…….22
Заключение ………………………………………………………………28
Список литературы …………………………………………………….29

Введение

Исследование функциональных рядов позволяет решать множество прикладных задач. Наиболее широкое применение сегодня находит теория вычетов, которая применяется как в теоретических изыскания, так и в практических разработках, связанных с машиностроением, теорией упругости и многим другим.
Несмотря на то, что данные теории уже давно изучены, прикладное применение использования рядов в комплексной области, а также теории вычетов все более расширяется.
Актуальность Основные понятия, связанные с последовательностями комплексных чисел, вводятся так же, как в действительной области.
Как и в действительной области, для абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами справедливы те же правила действий, что и с конечными суммами.
Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.
Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел  . Действительную часть числа  будем обозначать  , мнимую -  (т.е.  .
Числовой ряд - запись вида
Частичные суммы ряда: 
Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при  , являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут  или  .
Найдём действительные и мнимые части частичных сумм:  , где символами  и  обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями.
Данная работа может быть использована для изучения данной темы на факультативных занятиях учениками, при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. Мы надеемся, что наш материал поможет старшеклассникам научиться решать уравнения такого вида.