Гл. 12. Метод ортонормированных рядов

Гл. 12. Метод ортонормированных рядов

Глава 12
Метод ортонормированных рядов. Пример
Рассмотрим, как обычно, гильбертово пространство Н и опе­ратор А, который является положительно определенным на ли­неале D_А, плотном в Н. Пусть Н_А — пространство, построенное в гл. 10, со скалярным произведением (и, v)_A, которое, как мы знаем, представляет собой расширение скалярного произведения (и, v)_A, определенного первоначально на D_A соотношением
{и, v)_a = (Au, v), u£D_a, vdD_A, (12.1)
на все пространство Н_А. В предыдущей главе было показано, что функционал
F« = («, и)_А — 2(/, и), и£Н_А (12.2)
достигает минимума в Н_А на определенном элементе и₀, одно­значно определяемом по элементу / из соотношения
(ы₀, ы)_л = (/, и) при любом и£Н_А. (12.3)
Элемент и₀, минимизирующий функционал (12.2) в Н_А, назы­вается обобщенным решением уравнения Лм = /. Некоторые свой­ства этого решения обсуждались в гл. 11. В этой и последующих главах будут показаны несколько эффективных методов нахожде­ния или аппроксимирования этого обобщенного решения.
С этой целью мы будем предполагать, что пространство Н_д сепарабельно. Для этого достаточно—как можно было бы ожи­дать и как подробно доказано, например, в [29],— чтобы про­странство Н было сепарабельным. Таким образом, если мы вы­берем в качестве пространства Н пространство L₂{G) — как это очень часто и будет в дальнейшем,— то сепарабельность Н_А также будет обеспечена, поскольку L₂(G) сепарабельно (см. теорему 4.7).
Напомним, что метрическое пространство Р называют сепара­бельным, если можно найти не более чем счетное множество его элементов, которое плотно в этом пространстве. В соответствии с теоремой 6.11 в каждом сепарабельном гильбертовом простран­стве существует так называемый базис, т. е. не более чем счет­ная линейно независимая система

Фа. • ■ ф„, ■ ■ (12.4)
которая полна в этом пространстве, т. е. для любого и £ Н и любого 8 > 0 можно найти положительное целое число i и числа а%\ такие что
р(«. 2 4°Фа) <8. (12.5)
\ k = 1 j
Более того, если М—множество, плотное в этом пространстве, то можно построить базис только из элементов этого множества (см. примечание на с. 72). В соответствии с теоремой 6.12 можно также считать, что базис (12.4) ортонормирован в рассматривае­мом пространстве.
Итак, пусть (12.4) — ортонормированный базис в Н_д, построен­ный (если в этом есть необходимость) из элементов линеала D_A. Для элементов этого базиса, таким образом, мы имеем
( 0 при fe=7^t,
= { , _лр„ _{t = L} (12.6)
Поскольку по предположению (12.4) является ортонормирован- ным базисом в Н_д (т. е. полной ортонормированной системой в Н _А), обобщенное решение м₀ нашей задачи может быть записано в этом пространстве в виде соответствующего ряда Фурье (см. с. 70)
00
«о=2 ад¹.¹) (12.7)
где
⁼ («о. Ф&).4> k — \, 2 (12.8)
Однако для любого и £ Н _А и, таким образом, для любого
(k=l, 2, ...) выполняется соотношение (12.3), так что
«* = («о. Ф*Ь = (/. Ф*)- (¹²-⁹)
Коэффициенты ряда Фурье (12.7) тем самым определяются очень просто как скалярные произведения (в Я) правой части / данного уравнения и функций базиса ф_й.
Итак, задача решена.
Заметим, что из сходимости ряда (12.7) в Н_А следует его схо­димость также и в Я. А именно, если s_n—п-я частичная сумма

7. 
   , то из (10.70) следует, что
   

К — '— ИоКд- (12-10)
Поскольку {ф„} образует базис в Я_А, имеем lim_n^_oas_n = u₀ в Н_д, откуда, согласно (12.10),
lim s_n = u₀ в Я. (12.11)
П-+ X
(См. также текст, следующий за уравнением (10.15).)
Полученный результат можно сформулировать следующим образом.
Теорема 12.1. Пусть А—положительно определенный опера­тор на линеале D_A, плотном в сепарабельном гильбертовом про­странстве Я, и пусть f$H. Далее, пусть , ф₂, ...—ортонор­мированный базис в пространстве Н_А (по поводу Н_А см. гл. 10).
Тогда обобщенное решение и₀ уравнения Аи = / дается рядом
оо
«о=2а*Ф*. (12 12).
k= I
где
<** = (/. Фа) (12.13)
((/> Фа) — скалярное произведение в Н). Этот ряд сходится к обобщенному решению и₀ как в Н_А, так и в Н.
Следовательно, согласно (12.12), решить нашу задачу очень просто: достаточно вычислить коэффициенты a_k = (/, ф^,) ряда Фурье (12.12). В частности, если H = L₂(G), задача сводится к вычислению интегралов вида
j / (*) Фа (*) dx. (12.14)
в
Читатель может решить, что этим задача нахождения обоб­щенного решения рассматриваемого уравнения Au = f полностью решена и что дальше развивать теорию в этом направлении не нужно. Однако трудность заключается в том, что в общем слу­чае построить ортонормированный базис в Н_Д непросто. Эта за­дача нетривиальна, даже если не требуется ортонормированности базиса. (При построении базиса трудно удовлетворить требованию полноты, которое входит в его определение; см., в частности, гл. 20 и 25, в которых рассматриваются эти вопросы.) Однако даже если базис найден, его ортогонализация или, наконец, орто­нормирование (см. с. 69 и 53) представляет собой, вообще го­воря, чрезвычайно трудоемкий процесс и, как правило, с точки зрения численных расчетов едва ли осуществима. Поэтому были разработаны другие методы, не требующие ортонормирования базиса. Они будут обсуждаться в последующих главах.
Тем не менее построение ортонормированного базиса в неко­торых частных случаях (например, для очень простых обыкно­венных дифференциальных операторов или дифференциальных операторов в частных производных, рассматриваемых в очень простых областях) может быть выполнено относительно несложно.
Приведем пример.
Пример 12.1. Решим задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике G (0 < х < а, 0 < у < Ь):

• 
  Au = f в G, (12.15)
  

// = 0 на Г. (12.16)
Выберем Н = L₂ (G). Как обычно, в качестве линеала D_A = D__A выберем множество функции, непрерывных вместе со своими пер­выми и вторыми производными в G = G-|~r и удовлетворяющих условию (12.16). Мы знаем, что это множество плотно в L^iG) (теорема 8.6). Как будет показано ниже (в гл. 22), оператор А,
заданный на D_A правилом А = — Л, положительно определен на этом линеале. Следовательно, обычным способом можно построить гильбертово пространство Я_л = //_д (см. гл. 10). В данном слу­чае в качестве базиса в этом пространстве можно выбрать си­стему функций





т= 1, 2, п=1, 2, ... (12.17)
(см. гл. 20, текст, следующий за равенством (20.20)). Теперь по­строим из функций (12.17) последовательность, ортонормирован- ную в //_д. Сначала обозначим функции следующим образом: