Giperbolik tenglamalarning xarakteristik xossalari.
Reja:
1.Giperbolaning sodda yoki kanonik tenglamasi.
2. Giperbolaning xossalalari.
3. Giperbolaning asimptotalari.
4. Giperbola urinmasi.
5. Giperbolaning direktrisalari
Tayanch so`z va iboralar
Giperbola, fokus nuqtalar,fokal radiuslar, ekstsentrisitet, mavhum uchlar, o`ng yarim tarmoq, chap yarim tarmoq, haqiqiy o`q,mavhum o`q, asimptota chiziqlari, giperbola urinmasi, direktrisa chiziqlari.
Ta’rif. Tekislikda har bir nuqtasidan fokuslar deb ataluvchi Fl va F2 nuqtalargacha bo`lgan masofalar ayirmasining absolyut qiymati berilgan kesma uzunligiga teng bo`lgan nuqtalarning geometrik o`rniga giperbola deb ataladi. Berilgan kesma uzunligi fokuslar orasidagi masofadan kichik.
Ta’rifda aytilgan kesma uzunligini 2a fokuslari orasidagi masofani fokal masofa deb 2c bilan belgilaymiz, ta’rifga ko`ra
2a<2c Þ aa>0, c>0, Fl va Fz nuqtalar ustma-ust tushmaydi deb faraz qilamiz.
Giperbolaning N nuqtasidan fokuslarigacha bo`lgan masofalarni gg=F1N, g2=F2N larni N nuqtaning fokal radiusi deyiladi.
Giperbolaning ta’rifiga ko`ra giperbola tenglamasi
|F1N-F2N|=2a
yoki
| gg-g2|=2a (2)
Giperbola to`g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasidagi tenglamasini chiqarish uchun, koordinatalar sistemasini ellips bilan ish ko`rgandek qilib tanlaymiz.
F1F2=2c bo`lgani uchun olingan koordinatalar sistemasida F1(c,0), F2(-c,0), N(x,y) kordinatalarga ega bo`ladi (2-chizma).
U holada
r1=F1N= , r2=F2N= (3)
Giperbola ta’rifiga ko`ra ya’ni (16.2) formaulaga asosan
| - |=2a ni hosil qilamiz.
bu tenglamani quyidagicha yozib olamiz
= ±2a
bu tenglamani kvadratga oshirib quyidagiga ega bo`lamiz
±a =a2-cx
yana kvadratga oshirib ba’zi bir almashtirishlarni bajarib, quyidagilarni yozamiz
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) (4)
b2=c2-a2>0 (5)
belgilab, bu belgilanishlarni e’tiborga olsak
(6)
ega bo`lamiz.
Shunday qilib, giperbola ixtiyoriy nuqtasining koordinatalari (6) tenglamani qanoatalntiradi.
Endi teskari jumlani isbotlaylik. Ya’ni koordinatalari (6) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqta giperbolada yotishini isbotlaylik.
(3) formuladagi y2 ning qiymatini (6) formuladan topib qo`yamiz va (5) ni e’tiborga olsak ushbu tengliklarga ega bo`lamiz
r1=/ -a/ r2=/ +a/
(6) dan / /³a. Bundan tashqari x³a , >1 bo’lsa, u holda r1= -a>0, r 2= +a>0, bo’lib r1= -a, r 2= +a, ≤0 da
r 1=a- r 2=-( +a) bo’ladi.
Demak, | g1-g2|=2a ya’ni M nuqta giperbolada yotadi. Shunday qilib, (6) tenglama giperbolaning sodda tenglamasi yoki giperbolaning kanonik tenglamasi deyiladi.
2c>
Do'stlaringiz bilan baham: |