«Giperbola-parabolik tipdagi tenglamalar uchun teskari masala yechimining yagonaligi» mavzusida

Masala 2. sohada (2.1.3)-(2.1.8) shartlarni qanoatlantiruvchi va funksiyalar topilsin, bu yerda va -berilgan yetarlicha silliq funksiyalar.
Masala 3. sohada(2.1.3)-(2.1.8)shartlarni qanoatlantiruvchi va funksiyalar topilsin, bu yerda va -berilgan yetarlicha silliq funksiyalar.
Ushbu masalalarni yechish uchun u(x,t) yechimni cheksiz qator ko’rinishida qidiramiz:
,
Bu yerda - berilgan masalaga mos Shtrum-Liuvill masalasining xos sonlari. Xuddi shunga o’xshash , va funksiyalarni xos funksiyalar bo’yicha Fure qatoriga yoyamiz:

Ushbufunksiyalarnimasalalargaqo’yib,vaquyidagichaskleykashartlaridanfoydalanamiz:

Natijada, 1-masala uchun , 2-masala uchun , 3-masala uchun nomalumlar uchun tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
(2.1.9)
(2.1.9) sistemani yechib, biz uchta tenglamaning yechimini olamiz, bu yerda, da
,
da,
.
Shuni ta’kidlash joizki, aralash tipdagi tenglamalarga qo’yilgan to’g’ri chegaraviy masalalar ancha chuqur o’rganilgan.Aralash tipdagi tenglamalarga qo’yiladigan teskari masalalar esa endi o’rganilayapti. Yuqorida aralash parabola-giperbolik tipdagi tenglama uchun teskari masalalar qanday qo’yilishi mumkinligi va uni yechish yo’llari qisqacha bayon etildi.
2.2.Giperbola-parabolik tipdagi model tenglamalar uchun teskari masala yechimining yagonaligi
Matematik fizikaning teskari masalasi deganda bizto’g’ri masalalar sinifiga kiritishimiz mumkin bo’lmagan masalalarni tushunamiz. U ko’pincha nafaqat yechimni balki qandaydir yetishmayotgan koeffitsiyentni shartni aniqlash bilan bog’liq. Teskari masalalarning asosiy belgisi bo’lib nafaqat yechimni balki matematik-fizikaning qandaydir komponentini aniqlash zaruriyati xizmat qiladi.
To’rtburchak sohada aralash parabola-giperbolik tipdagi tenglamani qaraymiz:
(2.2.1)
Bu yerda, va -berilgan musbat sonlar.D sohada quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi va funksiyalar topilsin:
(2.2.2)
(2.2.3)
(2.2.4)
(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.7)
Ushbu masalalarni yechish uchun u(x,t) yechimni cheksiz qator ko’rinishida izlaymiz.

Bu yerda Shturm-Liuvil masalasining yechimi bo’lib, xos funksiyadir. Xuddi shunga o’xshash , , ni xos funksiyalar bo’yicha Furye qatoriga yoyamiz.

Xos funksiyalarni topish: Yechimni quyidagi ko’rinishda izlaymiz:

Buni (2.2.1) – ifodaga keltirib qo’yamiz.

Yuqoridagi sistemaga Shturm-Liuvil masalasi deyiladi.

Bu yerda - xos son , - ga mos xos funksiya.

Endi quyidagi cheksiz qatorning yechimini izlaymiz:




(2.2.8)


(2.2.9)
(2.2.6) va (2.2.7) – shartlardan quyidagi yangi shart hosil bo’ladi:


(2.2.10)
Bu yerdagi va lar quyidagi formula yordamida topiladi:
(2.2.11)

Endi (2.2.8) tenglikni yechamiz.

(2.2.12)

Bundan so’ng (2.2.9) tenglikni ham yechamiz.

(2.2.13)

yechimni olamiz.

Bundan esa quyidagi shart kelib chiqadi:


(2.2.14)

(2.2.10) va (2.2.14) shartlardan quyidagilar kelib chiqadi:

Natijada, quyidagini olamiz:

(2.2.15)

Bu sistemadan - larni topib olamiz.

Endi :

ekanligidan foydalanib, topilgan qiymatlarni keltirib qo’yamiz va natijada:

(2.2.16)


(2.2.17)
yechimni olamiz. Demak, (2.2.1) masalaning yechimi (2.2.16) va (2.2.17) ko’rinishida ifodalanar ekan.