Geometriyani kelib chiqish tarixi

GEOMETRIYANI KELIB CHIQISH TARIXI


Reja:

1. 
   Geometriya darslarida tarixiy ilmiy merosning o’rni
   
2. 
   Pifagor
   
3. 
   .Arximed
   
4. 
   Ahmad Farg’oniy
   
   

Respublikamizning kelajagini barpo qiluvchi yosh avlodga hozirgi zamon fanining yangiliklarini , uning murakkab qirralarini o’rgatish bilan bir qatorda o’tmish merosimizni o’rganishga imkoniyat tug’dirishi lozim.

Al-Xorazmiy, Abu Nasr Forobiy, Ahmad al-Farg’oniy, Abu Ali ibn Sino, Abu Rayhon Beruniy, Abul Vafo Buzjoniy , G’iyosiddin Al-Koshiy, Umar Xayyom, Nasriddin at-Tusiy, Mirzo Ulug’bek va hozirgi zamon mashhur o’zbek matematiklarining matematika faniga qo’shgan hissalari haqida tushuncha berish maqsadga muvofiqdir.
Matematika darslarida tarixiy ma’lumotlardan foydalanish o’quvchilarning o’rganilayotgan materiallarga qiziqishini oshiradi, bilimlarni mustahkam egallashlariga yordam beradi.
Tarixiy materiallardan foydalanishning ikki asosiy usuli mavjud: tarixiy materiallardan dars jarayonida foydalanish va ulardan darsdan tashqari ishlarni tashkil etishda foydalanish. Geometrik faktlarni hozirgi zamon faktlari bilan taqqoslash yoki tarixiy masalalar yechish geometriyaning har bir darsida to’g’ri kelavermaydi, ammo dars jarayonida tarixiy faktlarga tez-tez murojaat qilishga to’g’ri keladi. Ammo bularning hammasi o’quvchilarni o’rganilayotgan asosiy mavzudan chalg’itmasligi kerak. Tarixiy masalalardan darsning boshi yoki oxirida foydalangan ma’qul. Agar o’qituvchi dars rejasini bajarishiga ishonsa, unda dars davomida ham foydalansa bo’ladi.
O’quvchilardan hamma aytilgan tarixiy faktlar, ismlar va yillarni esda saqlashni talab etish shart emas. Darsda ular muammo yoki masalaning qisqacha tarixi bilan tanishishlari , biror kashfiyot ro’y bergan davrni esida tutishlari, kashfiyot qilgan matematikning ismi va familiyasini eshitishlari, agar bo’lsa, portretini ko’rishilari kifoya. Bu aytilganlarning hammasi bo’lmasa-da,bir qismi ularning esida qoladi va o’qituvchi o’qitadigan “ Fanning quruqligi” haqidagi da’vodan qutiladi, darsning esa anchagina qiziqarli bo’lishiga erishadi.
Geometriyaning kelib chiqishi. Geometriya dastlab, Qadimgi Misr va Bobilda shakllanib, keyinchalik Qadimgi Gretsiyada rivojlandi. Umuman geometriyaning paydo bo’lishi va rivojlanishi insoniyat taraqqiyoti bilan chambarchas bog’liqdir. Uning aynan yuksak sivilizatsiyaga ega bo’lgan davlatlarda shakllanishi va rivojlanishi ham fikrimizni tasdiqlaydi. Mashhur grek tarixchisi Gerodot (miloddan avvalgi V asr)geometriyaning paydo bo’lishi haqida bunday deydi: “ Misr shohi Stseotros har bir misirlikka qur’a bo’yicha yer maydoni ajratib berar va yer egasidan shu yerga mos soliq undirar edi. Agar Nil daryosi toshib biror kishining yerini yuvib ketsa, u shohga xabar berar va shoh tanobchilar yuborib, u kishining yeri qanchaga kamayganligini aniqlatar hamda unga mos ravishda soliqni ham kamaytirar edi. Geometriya mana shunday paydo bo’lgan va so’ngra Gretsiyaga o’tgan.”
Bu haqda grek olimlaridan Yevdem ( miloddan avvalgi IV) bunday yozadi: “Geometriyani misrliklar kash etgach, u yer o’lchash natijasida vujudga kelgan. Bu o’lchashlar doim yerlarning chegarasini yuvib ketadigan Nil daryosining toshqinlari tufayli hosil bo’lgan. Bu fan ham boshqafanlar singari, kishilarning ehtiyoji tufayli hosil bo’lgan.”
Demak, geometriyani insoniyatning ehtiyoji vujudga keltirilgan, ya’ni ular to’g’ri chiziqlar o’tkazishlari, maydonlarning yuzini hisoblashlari, buyumlarning hajmini aniqlashlari zarur bo’lgan.
Qadimgi misirliklar bir necha yillar davomida asta-sekin turli sohalarda ilmy ma’lumotlar to’play boshlagan. Ular ba’zi bir figuralarning yuzlarini, ba’zi jismlarning hajmalarini juda aniq
hisoblay olar, ba’zi masalalarning yechish usullarini ham bilishar edi. Biroq, ularda geometriya hali fan sifatida mavjud emas edi. Ularda o’zaro bog’lanmagan,tartibsiz holdagi juda ko’p qoidalar mavjud bo’lgan.
Milloddan avvalgi VII asr o’rtalarida Kichik Osiyoning g’arbiy chegaralari yunonistonga qarar edi. Uning o’rta qismi loniya deb atalar va undan boshqa mamlakatlar bilan savdo-sotiq ishlarini olib boruvchi katta-katta shaharlar juda ko’p edi. Shunday shaharlardan biri Miletda Fales ( milloddan avvalgi 640-548 y.y) yashagan.U Misrga sayohat qilgan va u yerda turli fanlar bilan tanishgan. Falesni ko’proq geometriya qiziqtirgan. U loniya maktabining asoschisi hisoblanadi. Fales geometriyaga tegishli juda ko’p kashfiyotlar qilgan. Shuning uchun ham Fales fan tarixida birinchi geometric olim sifatida tan olinadi.
Misr va Yunoniston o’rtasida savdo-sotiq ishlari rivojlangan bo’lib, savdogarlar bilan birga yunon olimlari ham Misrga safar qilib turishganva misirliklarning turli fanlar sohasida erishgan yutuqlarini o’rganib o’rganish. Bilan chegaralanmasdan, ulardagi kamchiliklarni tuzatib, tartibga solib, nazariy jihatdan to’ldirib, yaxli holga keltirishdi. Natijada bundan taxminan 2500 yillar ilgari Yunonistonda geometriya fan sifatida shakllandi.
Miloddan avvalgi V asrda Gippokrat geometriyadan to’plangan barcha bilimlarni bitta kitobda sistemali ravishda bayon etib ko’rishga urinib ko’rdi. Uning bu asari bizgacha yetib kelmagan.
Miloddan oldingi III asrda Yevklid bu ishni muvaffaqiyatli amalga oshirdi va geometriyaning mustaqil matematik fan sifatida shakllanishiga ulkan va beqiyos hissa qo’shdi. U o’zining mashhur ‘Negizlar’ asarida boshlang’ich tushunchalar va asos sifatida ba’zi aksioma va postulatlarni aniqladi va ulardan mantiqiy yo’l bilan teoremalarni keltirib chiqardi.
V-VI sinflarda o’quvchilar geometriyaning ba’zi elementlari bilan tanishgan bo’lsalar, VII sinfda bu fanni sistemali ravishda o’rganishni boshlaydilar.
Geometriyaning eng sodda tushunchalari, son tushunchasi singari, kishilarning ehtiyoji tufayli vujudga kelgan. Dastlabki geometrik o’lchov birliklari inson tanasining biror a’zosi bilan bog’liq bo’lgan ( masalan, ‘qarich’, ‘qadam’, ‘tirsak’ va hokazo).
Mamlakatimiz hududida olib borilgan arxeologik qazish ishlari geometriyaning dastlabki rivojlanishi dehqonchilik, kulolchilik, tikuvchilik ishlari, qurilish va uning texnikasi bilan bog’liq ekanligini ko’rsatadi. Qazish paytida topilgan turli spool idishlar, ularga solingan turli-tuman figuralar qadimgi avlod va ajdodlarimiz geometriyadan ancha boxabar ekanligidan dalolat beradi. Ular o’z turar joylarini turli xil geometric figuralar – uchburchaklar, ko’pburchaklar va spirallar bilan bezaganliklarini ko’ramiz. O’sha bezaklarda figuralarning tengligi, o’xshashligi, simmetriyasi va hokazolar uchraydi. Albatta, qadimgi xalqlarda uchraydigan bunday shakllar bevosita tabiatdan olingan.
O’rta asrlarga kelib , Sharqda ilm-fan yuksak taraqqiyotga erishdi. Xususan geometriya fani ham yangi kashfiyotlar bilan boyitilib, rivojlana boshladi. Bunda albatta, O’rta Osiyodan yetishib chiqqan buyuk olimlarimizning xizmatlari juda kattadir. Al-Xorazmiy, Ahmad al-Farg’oniy, Abu Nasr Forobiy, Abu Ali ibn Sino, Abu Rayhon Beruniy, Abul Vafo Buzjoniy , G’iyosiddin Al-Koshiy, Mirzo Ulug’bek va boshqa olimlarning ilmiy merosi, hayot yo’llari haqida, jumladan geometriyaning rivojiga qo’shgan hissalari haqida o’quvchilarimiz zarur ma’lumotlarga ega bo’lishlari, bilishlari kerak. Bu haqda bilim berish, tushuntirish ma’naviy yetuk, bilimdon, buyuk ajdodlari bilan faxrlanuvchi va ularga munosib voris bo’lishga intilayotgan barkamol avlodni tarbiyalashda muhim ahamiyatga ega. Bugungi kunda yosh Beruniylar, Ibn Sinolar, Ulug’beklarning yetishib chiqishida o’qituvchilarimizning ma’suliyati juda katta bo’lishi kerak.
Geometriya- eng qadimgi matematik fanlardan biri. Biz geometriyaga taaluqli birinchi faktlarni Bobilning mixxatli jadvallaridan va misrliklarning papiruslaridan, shuningdek, boshqa manbalardan topamiz. ‘Geometriya’ fanining nomi qadimgi yunon tilidan olingan. U qadimgi 2 yunon so’zi (ge-‘yer’ va metreo-‘o’lchayman’) –dan olingan.
Geometrik bilimlarning vujudga kelishi odamlarning amaliy faoliyati bilan bog’liq. Bu ko’pgina geometrik figuralarning nomlarida o’z aksini topgan. Masalan trapetsiyaning nomi trareziop-so’zidan olingan va ‘stolcha’ ni bildiradi. ‘Liniya’-‘chiziq’ atamasi lotincha linit-‘ziqir, zig’ir ip’ so’zidan hosil bo’lgan.
Qadimdanoq, geometriya aksiomalar sistemasiga asosan tuzilgan qat’iy mantiqiy dediktiv fanga aylangan. U uzluksiz rivojlangan, yangi teoremalar, g’oyalar va metodlar bilan boyib brogan. Geometrlarning qiziqishlari va ilmiy tadqiqotlarning yo’nalishlari vaqti-vaqti bilan o’zgarib turgan. Shu sababli hozirgi geometriyaning predmeti, mazmuni hamda metodlarini qamrab oluvchi aniq ta’rifini berish qiyin.
Eramizdan avvalgi IIasrda qadimgi yunon olimi Yevklid ‘Negizlar’ nomli asar yozdi. Yevklid bu kitobida shu davrgacha to’plangan geometric bilimlarni jamladi va bu fanning tugallangan aksiomatik bayonini berishga harakat qildi. Yevklid kitobida puxta o’ylanib, chuqur mantiqiylik bilan bayon etilgan geometriya matematiklarni, Yevklid geometriyasidan boshqacha geometriya mavjud bo’lmaydi degan fikrga olib keldi.
XIX asrdagina, 1-navbatda rus matematigi N.I.Lobachevskiyning ishlari tufayli , Yevklid geometriyasi mumkin bo’lgan yagona geometriya emasligi aniqlandi. Bizning mumkin bo’lgan geometric fazolar haqidagi tasavvurlarimizning kengayishida XIX asrda yashagan nemis matematigi B.Rimanning ayniqsa xizmatlari katta. U cheksiz ko’p geometriyalar qurish usulini kashf etdi.
Geometriyaning hozirgi zamon fizikasi bilan bog’lanishini kuzatish g’oyat qiziqarli. Ko’pincha, matematikani biyitadigan yangi tushunchalar, metodlar fizika hamda kimyo va tabiatshunoslikning boshqa bo’limlaridan keladi. Mexanikadan matematikaga kelgan vector tushunchasi bunga tipik misol bo’la oladi. Xususan, Lobachevskiy geometriyasi maxsus nisbiylik nazariyasiga tatbiq etildi va bu fanning nazariy asosiga aylandi, Riman geometriyasi esa Eynshteynning umumiy nisbiylik nazariyasining asosi bo’lib xizmat qildi.
A.Eynshteynning o’z nazariyasini yaratayotganida nemis matematigi D.Hilbert hamkorligi, uning g’oyalarining ta’siri ko’zga tashlanadi. Riman geometriyasi elastiklik nazariyasi , fizika va texnikaning boshqa bo’limlarida ham muhim tadbiqqa ega.
Biz aylana va doiraning shaklini hamma joyda uchratamiz: bu mashinaning g’ildiragi, ufq chizig’i, oy gardishi. Matematiklar geometric figura- tekislikdagi doira bilan juda qadimdan shug’ullanishadi.
Tekislikning O nuqtasidan Rdan katta bo’lmagan masofagacha uzoqlashgan nuqtalardan iborat aylana bilan chegaralangan. O markazni aylananing nuqtalari bilan tutashtiruvchi kesmalar R uzunlikka ega va ular ham doiraning, ham aylananing radiuslari deb ataladi. Doiraning 2 radiusi bilan ajraladigan qismlari doiraviy sektorlar deb ataladi. Aylananing 2 nuqtasini tutashtiruvchi kesmalar vatar deyilib, u doirani 2 ta segmentga, aylanani esa 2 ta yoyga ajratadi.
Markazdan vatarga tushurilgan perpendikulyar vatarni va u tortib turgan yoyni 2 ga bo’ladi. Vatar qanchalik markazga yaqin joylashgan bo’lsa, shunchalik uzun bo’ladi; eng uzun vatarlar- markazdan o’tuvchi vatarlar. Ular doira va aylananing diametrlari deb ataladi.
Agar to’g’ri chiziq doira markazidan d masofada yotsa, d >R bo’lgan holda, to’g’ri chiziq doirani kesmaydi; dUrinma urinish nuqtasiga o`tkazilgan radiusga perpendikular bo`ladi Doiraga udan tashqarida yodgan nuqtadan ikkita urinma o`tkazish mumkin. bunda ularning berilgan nuqtadan urinish nuqtasigacha bo`lgan kesmalari teng. Aylananing yoylarini uning burchaklari singari graduslar va uning ulushlarida o`chash mumkin.
Butun aylananing 1:360 qisim gradus deb olinadi. Markaziy AOB burchak o`zi tiraladigan AB yoydagi graduslar soni bilan o`lchanadi, ichki chizilgan ACB burchak AB yoyning yarmi bilan o`lchanadi. Agar APB burchakning P uchi doyra ichida yodsa, u holda bu burchakning gradusi o`lchovi AB va A1B1 yoylar yig`indisining yarmida teng. P uchi doiradan tashqarida bo`lib,aylanadan AB va AB yoylar ayirmasining yarmi bilan o`lchanadi.Nihoyat, urinma bilan vatar orasidagi burchak ular orasidagi yoyning yarmiga teng.
Doira va aylana cheksin ko`b simmetriya o`qiga ega. Burchaklarini o`lchash va uchburchaklarning o`xshashligi haqidagi teoremalardan doiradagi proporsional kesmalar haqidagi teoremada, agar M nuqda doira ichida yotsa, u holda bu nuqda orqali o`tuvchi vatar kesmalari uzunliklarining ko`paytmasi MA o MB o`zgarmas bo`ladi deyiladi.
Qadim zamonlarda doir bilan bog`liq masalalar aylananing uzinligi yoki uning yoyining uzunligini topish ,doira yoki sektor va segmentlarning yuzasini hisoblash masalalarini yechishga urinishgan.Ulardan birinchisi sof “amaliy” yechimga ega: aylana bo`ylab ip qo`yib chiqish, keyin uni yoyib, chizqichga qo`yish, yoki aylanada nuqda belgilab, uni chizgich bo`yicha “dumalatish”(yoki aksincha, chizqichni aylana bo`ylab “dumalatish”) mumkin . Qanday qilmang, o`lchashlar aylana uzunligi L ning uning diametri d=2R ga nisbati hamma aylanalar uchun ayni bir son ekanini ko`rsatadi. Bu nisbatni yunon harfi π bilan belgilash qabul qilingan ( “pi”- yunoncha reritetrop so`zning bosh harfi, bu so`z “aylana”ni bildiradi). Biroq qadimgi yunon matematiklarini aylana uzunligini bunday empirik, tajriba yo`li bilan aniqlash qanoatlantirmagan: aylana-bu chiziq, ya`ni Yevklid ta`rifiga ko`ra “ensiz uzunlik”, unday ipning esa o`zi yo`q. Agar biz aylanani chizqich bo`yicha dumalatsak, “nega biz aylana uzunligini hosil qilamiz, boshqa biror bir kattalikni hosil qilmaymiz”-degan savol tug`iladi. Bundan tashqari, ana shunday usul doira yuzasini aniqlash imkonini bermagan.
3.Pifagor
( e. a. taxminan 570-500 y.)
Pifagor Samosskiy haqida yozma hujjatlar qolmagan, ancha keyingi ma’lumotlar bo’yicha esa uning hayoti va erishgan yutuqlari borasida haqiqiy manzarani tiklash qiyin. Pifagor Egey dengizining Kichik Osiyo sohilidagi o’zi tug’ilgan Samos orolini uning hukmdori zulmiga qarshi norozilik alomati sifatida tark etadi va yetuk yoshida Italiya janubidagi Kroton shahriga borib qoladi. Pifagor va uning izdoshlari Italiyadagi yunon koloniyalari hayotida katta rol o’ynagan yashirin ittifoq tuzadilar. Pifagorchilar bir-birlarini beshburchak yulduz- pentagramma bo’yicha tanishardi.
Pifagor ta’limiga Sharq falsafasi va dini katta ta’sir ko’rsatdi. U Sharq mamlakatlari bo’ylab ko’p sayohatda bo’ldi: Misr va Bobilda bo’ldi. U yerda Pifagor Sharq matematikasi bilan tanishdi. Matematika Pifagor ta’limotining bir qismi, ayni paytda muhim qismi bo’lib qoladi.
Pifagorchilar son qonuniyatlariga olamning sirlari yashiringaniga ishonardilar. Pifagorchi sonlar olami uchun alohida olam bilan yashardi. Sonlar o’z hayotiy mazmuniga ega edi. O’z bo’luvchilarining yig’indisiga teng sonlar mukammal sonlar deb qabul qilinardi (6, 28, 496, 8128,); biri ikkinchisining bo’luvchilari yig’indisiga teng sonlar juftini (masalan, 220 va 284) do’st sonlar deb atashardi. Pifagor birinchi bo’lib sonlarni juft va toq, tub va murakkab sonlarga ajratdi, figurali son tushunchasini kiritdi. Uning maktabida Pifagor sonlari deyiladigan natural sonlar uchliklari to’la qarab chiqilgan.
Ushbu iborani Pifagor aytgan deyishadi: ‘hamma narsa sondan iborat’. Pifagor butun olamni, xususan matematikani ham son tushunchasiga keltirmoqchi bo’lgan. Ammo Pifagor maktabining o’zidayoq bu garmoniyani buzuvchi kashfiyot ochildi. Ayrim sonlar ratsional son emasligi, ya’ni ratsional sonlar orqali ifodalanmasligi isbot qilindi. Tabiiyki, geometriya Pifagorda arifmetikada bo’ysundirilgan edi, bu hol, ayniqsa, Pifagor nomi bilan yuritiluvchi teoremada yorqin nomoyon bo’ldi. U keyinchalik sonli metodlarni geometriyaga qo’llash uchun asos bo’lib xizmat qildi. Aftidan pifagorchilar muntazam jismlar: tetraedr, kub va dodekaedrni bilishgan.
Geometriyada isbotlashlarni muntazam qo’llay boshlash, to’g’ri chiziqli figuralar planimetriyasini yaratish, o’xshashlik haqidagi ta’limotlar Pifagor nisbat beriladi. Arifmetik, geometrik va garmonik proporsiyalar, o’rta qiymatlar haqidagi ta’limotlarni ham Pifagor nomi bilan bog’lashadi. Shuni ta’kidlash kerakki, Pifagor Yerni quyosh atrofida harakatlanuvchi shar deb hisoblagan. XVI asrda cherkov Kopernik ta’limotini ayovsiz ta’qib ostiga ola boshlaganda bu ta’limotni qat’iy pifagorchilar ta’limoti deb, Pifagorni qoralamoqchi bo’lishgan.
4.Arximed
(e. a. taxminan 287-212 y.)
Ulug’ matematik va mexanik Arximed haqida qadimgi boshqa olimlarga nisbatan ko’proq ma’lumot mavjud. Avvalo, uning vafot etgan yili ishonchli, chunki bu yil Sirakuza shahrining taslim bo’lgan yilidir, bunda olim Rim qo’shinining askari tomonidan o’ldiriladi. Ammo qadimgi tarixchilar- Plibiy, Liviy, Plutarx olimning matematikaga doir ishlari haqida juda kam hikoya qiladilar. Ularning asarlaridan bizgacha olim shoh Gieron II saroyida xizmat qilgan paytda yaratgan ajoyib kashfiyotlari haqidagi ma’lumotlargina yetib kelgan. Shohning oltin toji haqidagi voqea ma’lum: bu toj tarkibining sofligini Arximed o’zi kashf qilgan itaruvchi kuchlar qonuni yordamida tekshiradi: Shunda u qilgan xitob ‘Evrika’ ya’ni ‘Topdim’ so’zi ham mashhur. Boshqa bir afsonada Arximed qurgan bloklar sistemasi yordamida bir kishining yakka o’zi ‘Sirakosiya’ deb ataluvchi ulkan kemani suvga tushira olishi haqida hikoya qilinadi. O’sha vaqtda Arximed tomonidan aytilgan: ‘Menga tayanch nuqtasini bering va men Yerni aylantirib yuboraman’ degan so’zlar afsonaga aylanib borgan. Arximedning injenerlik dahosi Sitsiliya orolidagi boy savdo shahri Sirkuzaning qamal qilinishi vaqtida alohida qudrat bilan namoyon bo’ldi.
Rim konsuli Marsellning qo’shinlari shahar devoir oldida ko’z ko’rmagan mashinalar bilan uzoq vaqt to’xtatib turildi: kuchli katapultalaryirik-yirik toshlarni mo’ljalga urar edilar, tuynuklarga sochma o’qlarni do’ldek yog’diruvchi mashinalar o’rnatilgan edi, qirg’oq yaqinida kranlar shahar devoridan tashqariga burilib, dushman kemalari ustiga tosh tashlashardi, ilgaklar bilan dushman kemalarini ko’tarib, ancha yuqoridan pastga tashlashardi, botiq ko’zgularni quyoshga tutib, kemalar yondirib yuborilardi. “Marsell tarixi’ asarida Plutarx Rim harbiylari qal’a devoir orqasidan arqon yoki xoda ko’rinishi bilan Arximed bizlarni o’ldirmoq uchun yana yangi mashina o’ylab topibdi, deb ayuxannos solib qochardilar’.