87
A
B
C
D
1
3
1
2
4
2
3
1
A
B
C
F
E
3
A
B
C
D
O
4
5
A
B
C
P
1
P
2
P
3
5.
Teskari teoremaga teskari bo4lgan
teorema
qanday nomlanadi?
6.
Quyidagi teoremalarning sharti va xulosasini
yozing. Bu teoremalarga teskari teoremalarni
yozing va ularning to4g4riligini tekshiring:
1) Agar 1-rasmda
AC
=
BD
bo4lsa,
AB
=
CD
bo4ladi
.
2) Agar 2-rasmda
1=
2 bo4lsa,
3=
4
bo4ladi
.
3) Agar 3-rasmda
EF ||AC
bo4lsa,
1 =
3
bo4ladi.
4
) Agar
4
-rasmda
AO
=
OB
va
CO
=
OD
bo4lsa,
AOD
=
BOC
bo4ladi.
7.
A
va
B
nuqtalarda mahkamlangan bloklar
orqali o4tgan ipda
P
1
va
P
2
jismlar osilgan
(
5-rasm
).
P
3
jism esa shu ipning
C
nuqtasida
osilgan bo4lib,
P
1
va
P
2
jismlarni
muvozanatda
saqlab turibdi.
AP
1
||
BP
2
||
CP
3
ekanligi ma’lum
bo4lsa,
ACB
=
A
+
B
bo4lishini isbotlang.
8.
Quyidagi teoremalarga teskari teoremalarni
ifodalang va ularning to4g4riligini tekshiring:
1) Ikki to4g4ri chiziqni kesuvchi bilan kesishi-
shidan hosil bo4lgan mos burchaklar teng
bo4lsa, u holda bu to4g4ri chiziqlar parallel
bo4ladi.
2) Uchinchi to4g4ri chiziqqa parallel bo4lgan
ikki to4g4ri chiziq o4zaro parallel bo4ladi.
3) Teng tomonli uchburchakning barcha bur-
chaklari o4zaro teng bo4ladi.
9.
Uchburchaklarning
tenglik alomatlariga tes-
kari teoremalarni ayting. Bu teskari teo remalar
to4g4rimi?
10.
Quyidagi tasdiqni isbotlang: Agar uchbur-
chakning bir uchidan tushirilgan bissektrisa
uchburchakning balandligi ham bo4lsa, bu
uchburchak teng yonli bo4ladi. Bu tasdiqga
teskari teoremani ayting.
1.
Teskari teorema bilan to4g4ri teorema o4rtasida qanday farq bor?
2.
Teskari teorema bilan to4g4ri teorema o4rtasida qanday aloqa bor?
3.
To4g4ri teoremaga teskari bo4lgan teorema har doim ham o4rinli bo4ladimi?
4
.
To4g4ri teoremani isbotlab, unga teskari teoremani
isbotsiz qabul qilsa
bo4ladimi?
Savol, masala va topshiriqlar
87
88
Quyida ikki to4g4ri chiziqning parallellik alomatlariga teskari bo4lgan teoremalar
qaraladi.
1-teorema.
Ikki parallel to4g4ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan ichki
almashinuvchi burchaklar o4zaro teng bo4ladi.
a
||
b
,
c
# kesuvchi (
1-rasm
)
1=
2
Isbot.
Teskarisini faraz qilish usulini
qo4llaymiz: 1-rasmda
a
,
b
parallel to4g4ri
chiziqlar va
c
kesuvchi tasvirlangan.
1
va
2
ichki almashinuvchi burchaklar teng bo4lmasin.
a
va
c
kesishgan
P
nuqtadan
PQ
nur bilan
2
burchakka teng
3
burchak yasaymiz
(
2-rasm
)
.
Uning tomoni
d
to4g4ri chiziqda yotsin.
To4g4ri chiziqlarning parallellik alomatiga
ko4ra,
2=
3 bo4lgani uchun
d
||
b
. Natijada
P
nuqtadan
b
ga parallel ikkita to4g4ri chiziq o4tib
qoldi. Bu esa parallellik aksiomasiga zid.
Teorema isbotlandi.
Natija.
Agar to4g4ri chiziq parallel to4g4ri
chiziqlardan biriga perpendikulyar bo4lsa,
ikkinchisiga ham perpendikulyar bo4ladi.
1
2
a
a
b
b
c
c
2
2
1
1
3
d
Q
P
Q
P
2-teorema.
Ikki parallel to4g4ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan mos burchaklar
o4zaro teng bo4ladi.
3-teorema.
Ikki parallel to4g4ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan bir tomonli
burchaklar yig4indisi 180
0
ga teng bo4ladi.
Teoremalarni mustaqil isbotlashga urinib ko4ring.
102
0
78
0
4
8
0
z
x
y
a
b
x
3
Masala.
3-rasmdagi noma’lum burchaklarni toping.
Yechilishi:
Ichki bir tomonli burchaklar
yig4indisi 78
0
+102
0
=180
0
bo4lgani uchun
a||b
bo4ladi. Demak, 1-teoremaga ko4ra
z
=
4
8
0
va
x
=
y
bo4ladi.
x
+
x
+
4
8
0
= 180
0
bo4lgani
uchun (yoyiq burchak kattaligi),
x
=
66
0
.
Demak,
y
= 66
0
.
Javob:
x
= 66
0
;
y
= 66
0
;
z
=
4
8
0
.
IKKI PARALLEL TO‘G‘RI CHIZIQ VA KESUVCHI
HOSIL QILGAN BURCHAKLAR
37
88
89
1.
4
-rasmda
AC
=
CB
ekanligini ko4rsating.
2.
Berilgan kesmaning o4rtasini topishda
1-masaladan qanday foydalanish mumkin?
3.
5-rasmda
BC
||
AD
,
AO
=
OD
ekanligi ma’lum.
a)
BO
=
OC
; b)
AC
=
BD
; c)
AOB
=
DOC
;
d)
ABD
=
DCA
tengliklarni isbotlang.
4
.
6-rasmda
BC
||
AD
va
AB
||
CD
bo4lsa,
ABD
=
CDB
ekanligini isbotlang.
5.
7-rasmda
a||b
bo4lsa
,
x
ni toping.
6*.
ABC
va
A
1
B
1
C
1
o4tkir burchaklar berilgan.
Agar
AB
||
A
1
B
1
va
BC
||
B
1
C
1
bo4lsa,
ABC
=
A
1
B
1
C
1
bo4lishini isbotlang.
7*.
Mos tomonlari parallel to4g4ri chiziqlarda
yotgan burchaklardan biri o4tkir, ikkinchisi
esa o4tmas. Bu burchaklar yig4indisi 180
0
ga teng bo4lishini isbotlang.
Eslatma.
6-7-masalalarda
keltirilgan
teoremalar # mos tomonlari parallel bo4lgan
burchaklarning xossalari deb yuritiladi.
8.
Agar 8-rasmda
a
||
b
,
c
||
d
va
1 = 55
0
bo4lsa,
2 va
3 ni toping.
9.
Mos tomonlari parallel to4g4ri chiziqlarda
yotgan burchaklar ayirmasi
4
0
0
ga teng. Bu
burchaklarni toping.
10*.
ABC
va
A
1
B
1
C
1
o4tkir burchaklar berilgan.
Agar
AB
A
1
B
1
va
BC
B
1
C
1
bo4lsa,
ABC
=
=
A
1
B
1
C
1
bo4lishini isbotlang.
11*.
Mos tomonlari perpendikulyar to4g4ri chi-
ziqlarda yotgan burchaklardan biri o4tkir,
ikkinchisi esa o4tmas. Bu burchaklar yi-
g4indisi 180
0
ga teng bo4lishini isbotlang.
Eslatma.
10-11-masalalarda keltirilgan
teoremalar # mos tomonlari o4zaro per-
pendikulyar bo4lgan burchaklarning xossa lari
deb yuritiladi.
12.
9-rasmdagi
A
va
C
burchaklar to4g4ri.
D
burchak
B
burchakdan ikki marta katta.
Bu ikki burchakni toping.
Savol, masala va topshiriqlar
8
b
1
2
3
d
c
a
4
A
B
B
1
A
1
C
5
A
B
C
O
D
6
A
C
B
D
7
a
b
135
0
3
x
D
C
B
A
9
89
90
MASALALAR YECHISH
38
1.
Masala.
1-rasmda
a b
,
c
||
d
. Quyidagi tengliklardan qaysilari to4g4ri?
1)
1 =
15; 2)
3 =
13;
3)
4
=
16;
4
)
4
=
8;
5)
1=
12; 6)
7 =
10;
7)
8 =
16;
8)
8 =
11;
9)
4
+
13=180
0
; 10)
6 +
1
4
= 180
0
;
11)
7+
12 =180
0
;
12)
8+
9=180
0
Yechilishi:
3)
4
=
2 (
vertikal burchaklar xossasiga ko4ra)
,
2 va
16 # mos
burchaklar bo4lgani uchun
2=
16. Demak,
4
=
16 tenglik to4g4ri.
5)
12=
7 (
mos burchaklar xossasiga ko4ra)
va
7=
5 (
vertikal burchaklar)
.
5 va
1 mos burchaklar.
a b
, shuning uchun
1
5=
7=
12, ya’ni
1=
12
tenglik noto4g4ri.
9)
4
=
2,
13=
15 (
vertikal burchaklar)
,
c
||
d,
2 va
15 # bir tomonli
burchaklar bo4lgani uchun,
2 +
15 =180
0
. Demak,
4
+
13 =180
0
tenglik to4g4ri.
11)
c
||
d
bo4lgani uchun
7=
10 (
almashinuvchi burchaklar xossasiga ko4ra)
va
10=
12 (
vertikal burchaklar)
. Demak,
7=
12.
Shuning uchun
7+
12 = 180
0
tenglik
faqat
7=
12= 90
0
bo4lganda o4rinli.
Qolgan tengliklarni shu tariqa o4zingiz mustaqil ravishda tekshirib chiqing.
2.
AB
to4g4ri chiziq va unda yotmaydigam
C
nuqta berilgan.
C
nuqta orqali
AB
to4g4ri chiziqqa nechta parallel to4g4ri chiziq o4tkazish mumkin?
3.
2-rasmda
EF
||
AC
,
BEF
=
62
0
,
EFC
=
130
0
bo4lsa,
ABC
uchburchak
burchaklarini toping.
Do'stlaringiz bilan baham: 
