2 – masala.
lar uchburchak tomonlari bo'lsa, isbotlang:
Isboti:
Δ Ravi almashtirishini bajaramiz:
, bu yerda
. Bundan so’ng masala shartida berilgan tengsizlik quyidagi ko’rinishni oladi:
Musbat
lar uchun o'rinli bo'lgan
tengsizlikdan foydalanamiz. Ushbu
tengsizlikda
ning o'rniga navbatma-navbat larni qo'yib, hosil
bo'lgan tengsizliklarni qo'shib yuboramiz:
▲.
3 – masala.
Agar
sonlari biror uchburchakning tomonlari bo’lsa, u holda ular
uchun
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
(Xalqaro Matematika Olimpiadasi 1983)
Isboti:
Δ Ravi almashtirishini bajaramiz:
, bu yerda
. Bundan so’ng masala shartida berilgan tengsizlik quyidagi ko’rinishni oladi:
.
Hosil bo’lgan tengsizlikning chap tomonidagi ifodani soddalashtirsak, yuqoridagi tengsizlik
yoki
(*)
ko’rinishga keladi. Demak,
(*) tengsizlikni isbotlasak, yetarli.
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib,
tengsizlikni hosil qilamiz. Bu esa (*) ga teng kuchli.▲
4 – masala.
Agar
sonlari yuzasi ga teng bo’lgan biror uchburchakning
tomonlari bo’lsa, u holda ular uchun
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
(Weitzenböck tengsizligi, Xalqaro Matematika Olimpiadasi 1961)
Isboti:
Δ Ravi almashtirishini bajaramiz:
, bu yerda
. Bundan so’ng Geron uchburchak yuzi uchun formulasidan foydalansak, masala
shartida berilgan tengsizlik quyidagi ko’rinishni oladi:
Bu esa
tengsizlikga teng kuchli. Bizga juda yaxshi ma’lum (isboti juda ham oddiy) bo’lgan
va
tengsizliklardan foydalansak,
munosabatni hosil qilamiz.▲
5 – masala.
Agar
sonlari yuzasi ga teng bo’lgan biror uchburchakning
tomonlari bo’lsa, u holda ular uchun
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
(
Hadwiger – Finsler tengsizligi)
Isboti:
Δ Ravi almashtirishini bajaramiz:
, bu yerda
. Bundan so’ng Geron uchburchak yuzi uchun formulasidan foydalansak, masala
shartida berilgan tengsizlik quyidagi ko’rinishni oladi:
Bu tengsizlikning chap tomonidagi ifodani soddalashtirsak, oxirgi tengsizlik
ko’rinishga keladi. Bu esa bizga juda yaxshi ma’lum bo’lgan
tengsizlikdan osongina kelib chiqadi. ▲
Mustaqil yechish uchun masalalar
6 – masala.
Tomonlari
bo’lgan
uchburchakning yuzasi
ga,
tomonlari
bo’lgan
uchburchakning yuzasi
ga teng bo’lsa, u holda ular
uchun
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
(
Padoe tengsizligi)
7 – masala.
Tomonlari
bo’lgan biror uchburchakning yarim perimetri ga teng
bo’lsa, u holda ular uchun
tengsizlikning o’rinli bo’lishini isbotlang.
Shu kabi boshqa maqolalar bilan tanishish uchun quyidagi kanalga
a’zo bo’ling:
Sardor Bazarbaev:
https://t.me/bazarbaevs