Geometrik tengsizliklarni isbotlashda ravi almashtirishidan foydalanish

2 – masala.

 

        lar uchburchak tomonlari bo'lsa, isbotlang: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         

 

 

         

 

 

         

  

Isboti: 

Δ  Ravi  almashtirishini  bajaramiz: 

                               ,  bu  yerda 

           . Bundan so’ng masala shartida berilgan tengsizlik quyidagi ko’rinishni oladi: 

 

     

 

 

     

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Musbat 

     lar uchun o'rinli bo'lgan 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  tengsizlikdan foydalanamiz. Ushbu 

tengsizlikda  

      ning o'rniga navbatma-navbat                        larni qo'yib, hosil 

bo'lgan tengsizliklarni qo'shib yuboramiz: 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  ▲. 

3 – masala.

 Agar 

        sonlari biror uchburchakning tomonlari bo’lsa, u holda ular 

uchun  

 

 

            

 

            

 

             

tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang. 

(Xalqaro Matematika Olimpiadasi 1983) 

Isboti: 

Δ  Ravi  almashtirishini  bajaramiz: 

                               ,  bu  yerda 

           . Bundan so’ng masala shartida berilgan tengsizlik quyidagi ko’rinishni oladi: 

       

 

                        

 

                        

 

                  . 

Hosil bo’lgan tengsizlikning chap tomonidagi ifodani soddalashtirsak, yuqoridagi tengsizlik 

  

 

    

 

    

 

   

 

       

 

       

 

 

---

 

 

yoki 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     (*) 

ko’rinishga keladi. Demak, (*) tengsizlikni isbotlasak, yetarli. 

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                           

 

 

tengsizlikni hosil qilamiz. Bu esa (*) ga teng kuchli.▲ 

4 – masala.

 Agar 

        sonlari yuzasi   ga teng bo’lgan biror uchburchakning 

tomonlari bo’lsa, u holda ular uchun 

 

 

   

 

   

 

       

tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang. 

(Weitzenböck tengsizligi, Xalqaro Matematika Olimpiadasi 1961) 

Isboti:

  Δ  Ravi  almashtirishini  bajaramiz:

                                ,  bu  yerda 

           . Bundan so’ng  Geron  uchburchak  yuzi  uchun  formulasidan  foydalansak,   masala 

shartida berilgan tengsizlik quyidagi ko’rinishni oladi: 

        

 

         

 

         

 

 

 

                   

Bu esa 

  

 

   

 

   

 

               

 

                   

tengsizlikga teng kuchli. Bizga juda yaxshi ma’lum (isboti juda ham oddiy) bo’lgan 

 

 

   

 

   

 

               va               

 

                  

tengsizliklardan foydalansak,   

  

 

   

 

   

 

               

 

                   

 

                 

 

  

                   

munosabatni hosil qilamiz.▲ 

5 – masala.

 Agar 

        sonlari yuzasi   ga teng bo’lgan biror uchburchakning 

tomonlari bo’lsa, u holda ular uchun  

                   

 

   

 

   

 

       

---

 

 

tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang. 

(Hadwiger – Finsler tengsizligi) 

Isboti:

  Δ  Ravi  almashtirishini  bajaramiz:

                                ,  bu  yerda 

           . Bundan so’ng  Geron  uchburchak  yuzi  uchun  formulasidan  foydalansak,  masala 

shartida berilgan tengsizlik quyidagi ko’rinishni oladi: 

                                                      

         

 

         

 

         

 

                      

Bu tengsizlikning chap tomonidagi ifodani soddalashtirsak, oxirgi tengsizlik 

                                

ko’rinishga keladi. Bu esa bizga juda yaxshi ma’lum bo’lgan 

              

 

                  

tengsizlikdan osongina kelib chiqadi. ▲ 

 

Mustaqil yechish uchun masalalar 

 

6 – masala.

 Tomonlari 

 

 

   

 

   

 

 bo’lgan 

 

 

 

 

 

 

 uchburchakning yuzasi 

 

 

 ga, 

tomonlari 

 

 

   

 

   

 

 bo’lgan 

 

 

 

 

 

 

 uchburchakning yuzasi 

 

 

 ga teng bo’lsa, u holda ular 

uchun 

 

 

 

  

 

 

   

 

 

   

 

 

     

 

 

  

 

 

   

 

 

   

 

 

     

 

 

  

 

 

   

 

 

   

 

 

       

 

 

 

 

tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang. 

(Padoe tengsizligi) 

7 – masala. 

Tomonlari 

        bo’lgan biror uchburchakning yarim perimetri   ga teng 

bo’lsa, u holda ular uchun 

 

     

 

 

     

 

 

     

 

 

 

 

tengsizlikning o’rinli bo’lishini isbotlang. 

 

Shu kabi boshqa maqolalar bilan tanishish uchun quyidagi kanalga 

a’zo bo’ling: 

 

Sardor Bazarbaev:

 

https://t.me/bazarbaevs