Geometrik masalalarni yechishda koordinata-vektor usulidan foydalanish

Geometrik masalalarni yechishda koordinata-vektor usulidan foydalanish

Umumiy o’rta ta’lim maktablarida o’rganiladigan matematik tushunchalar, masalalar va usullar doirasida amaliyotda keng tadbiq etiladigan va matematikaning asosiy tushunchalardan bo’lgan koordinata va vektor tushunchasi muhim ahamiyatga ega. Bizning fikrimizcha, vektorlarni koordinata shaklida xususiyatlari, vektorlar ustida amallarni sonlar, vektorlarning koordinatalari ustidagi amallarga olib keladigan vektor hisobining soddaligi tufayli, koordinata-vektor usuli geometrik masalalarni yechishning ishonchli vositalaridan biri hisoblanadi. Koordinatalar usuli-bu geometrik shakllarni analitik usul bilan ya’ni hisoblashlar yordamida o’rganish usulidir. U geometrik masalalarni algebraik masalaga olib keladi. Bunday masalalar esa oson algoritmlashtiriladi, ya’ni aniq hisoblashlar ketma-ketligiga olib keladi. Koordinatalar usuli matematikaning ikki tarmog’I algebra va geometriyaning uchrashuvi bo’lib, u geometrik ob’ektlar va algebraik formulalar orasida uzviy bog’lanish o’rnatadi. Bu bog’lanish koordinatalar sistemasi orqali amalga oshiriladi.Hozirgi vaqtda bu usuldan fan va ishlab chiqarishning turli sohalarida (grafiklar, jadvallar,sxemalar, xaritalar va h.k) foydalanilmoqda. Umumiy o’rta ta’lim maktablarida fizika fanida koordiinatalar usulidan mexanik harakatlarni o’rganishda foydalaniladi, algebra kursida funksiyalarni tekshirishni, grafiklarni yasashni osonlashtiradi. Maktab matematika kursi dasturiga muvofiq koordinatalar tushunchasini 5-9 sinflar darsligida quyidagi hajmda o’rganiladi:

-sonlarni to’g’ri chiziqda tasvirlash;

- nuqtaning koordinatasi;

-tekislikda to’g’ri burchakli kordinatalar sistemasi;

- koordinatalar bilan berilgan ikki nuqta orasidagi masofa.

Maktab geometriya kursi dasturiga muvofiq koordinatalar tushunchasini quyidagi hajmda o’rganiladi:
-koordinata tekisligi;

-koordinatalari bilan berilgan ikki nuqta orasidagi masofa formulasi;

-to’g’ri chiziq tenglamasi;

-aylana tenglamasi.

1-masala: Kvadratga R radiusli aylana ichki chizilgan. Aylananing istalgan nuqtasidan kvadrat tomonlarigacha bo’lgan masofalar kvadratlari yig’indisi o’zgarmas va ga tengligini isbotlang.

Yechis h: Berilgan aylana bu sistemada ushbu tenglamaga ega: (1).

Aylananing ixtiyoriy nuqtasi orqali koordinata o’qlariga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz. Ular kvadrat tomonlarini nuqtalarda kesib o’tadi. K nuqtadan kvadrat tomonlarigacha bo’lgan masofalar kvadratlarining yig’indisi quyidagiga teng:
. nuqta berilgan aylanaga tegishli bo’lganligi uchun uning koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantiradi. Shu sababli bu qaralayotgan yig’indi ga teng.

2-masala: Uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchagi berilgan, bu burchak bissektrisasi uzunligini toping.

Yechish: Uchburchakning berilgan tomonlarini va bissektrisasini ifodalovchi vektorlarni quyidagicha belgilaymiz:

vektorlar orasidagi burchakni ( bilan belgilab olamiz masalada CD= bissektrisani ifodolovchi vektor uzunligini topish talab qilinadi. Izlangan vektor uzunligini topish uchun, biz ABC uchburchakning [CD] bissektrisasi xossalaridan va vektorlarni ayirish ta’riflaridan foydalanamiz . Vektorni ayirish ta’rifiga asosan

= , =

Uchburchakning [CD] bissektrisasi xossasiga asosan = (2)

(1),(2)

Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko’taramiz:

P²=

P= =

Bu yerda =a, =b, =p bilan belgilanadi

Koordinata-vektor usulidan foydalanish juda samaralidir. Bunda, bir tomondan, koordinata va vektor usullari bilan bog’liq asosiy jihatlardan (koordinatalar sistemasini oqilona tanlash, masalani yechish uchun zaruruiy vektor munosabatni tuzish). O’qitish jarayonida koordinata-vektor usulidan foydalanishda geometriyani o’rganishda o’quvchilar qo’lida samarali qurol bo’ladi.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Gusev.V.A., Litvenko V.N., Mordkovich A.G. Praktikum po resheniyu matematicheskix zadach. M, Prosvisheniye 1986
   
2. 
   Gusev.V.A., Kolyagin Yu.M.,Lukankin G.L., Vektori v shkolnom kurse geometrii. M, Prosvisheniye 1986