Gauss tipidagi kvadratur formulaning xususiy hollari

2. Meler kvadratur formulasi. Endi [-1, 1] oraliqda

vazn bilan kvadratur formula quraylik. [-1, 1] oraliqda (5.10) vazn bilan ortogonal bo`lgan ko`phad Т_п(х)=cosnarccosx Chebishev ko`phadlari ekanligi ma`lumdir. Buni tekshirish uchun

integralda almashtirish bajaramiz:

Ma`lumki,

va barcha k = 0,1,...,n - 1 uchun

Bulardan esa 1_m = 0 kelib chiqadi. Shunday qilib,

kvadratur formulaning tugunlari Т (х) = 0 tenglamaning

ildizlaridan iboratdir. Bu formulaning koeffisiyentlarini esa

ko`rinishda yozish mumkin. Bu integralni hisoblash uchun х = cos almashtirish (5.11) bajaramiz.

Integral osti funksiyasining juftligi tufayli:

Integral ostidagi funksiya (n-1) - tartibli trigonometrik ko`phaddir. Biz 4-§ da bunday ko`phadni 2n nuqtali to`g`ri to`rtburchaklar formulasi aniqintegrallashini ko`rsatgan edik. (5.11) integralni hisoblash uchun to`g`ri to`rtburchaklar formulasida quyidagi nuqtalarni

olsak А_к ning aniq qiymatiga ega bo`lamiz. Ravshanki, integral

ostidagi funksiya

ning nuqtadagi qiymati j k bo`lganda nolga teng bo`lib, j к bo`lganda ga teng. Bundan tashqari juft funksiya va shuning uchun ham . Demak,

Buni (5.11) ga qo`yib,

ni hosil qilamiz. Shunday qilib, biz quyidagi Meler kvadratur formulasiga ega bo`ldik:

Bu formula ba`zan Ermit formulasi ham deyiladi, bu formulani Ermit o`zining analiz kursiga kiritgan edi.

Bu formulaning qoldiq hadini qaraylik. Xatoliklar vektorini baholashdan ma`lumki, 4-paragrafda ko`rgan edikki,

Shuning uchun ham va

Quyidagiga ishonch hosil qilish qiyin emas:

Shunday qilib,

Boshqa har xil vazn funksiyali Gauss tipidagi kvadratur formulalar haqida qo`llanmaning oxiridagi mashqlardan qarang.