Gauss tipidagi kvadratur formulalar va ularning tadbiqi

3. Interpolyatsion kvadratur formulalar. Bundan keyin qisqalik uchun kvadratur formulaning koeffisentlari va tugunlarini yuqori indekssiz va ko’rinishda yozamiz. Faraz qilaylik, bizga funksiyaning nuqtalaridagi qiymatlari berilgan bo’lib, maqsad shu qiymatlar bo’yicha integralning taqribiy qiymatini mumkin qadar yuqori aniqlikda topishdan iborat bo’lsin. Demak, koeffisentlar aniqlanishi kerak. Buning uchun ni uning berilgan qiymatlaridan foydalanib, (n-1)-darajali ko’phad bilan interpolyatsiyalaymiz:

(1.2.7)

Endi bu tenglikni ga ko’paytirib, a dan b gacha integrallaylik:

Agar bundagi

(1.2.8)

qoldiq hadni tashlasak,

(1.2.9)

kvadratur formulaga ega bo’lamiz.

Bu formula qurilish usuliga ko’ra interpolyatsion kvadratur formula deyiladi. Bunday formulalar uchun ushbu teorema o’rinlidir.

Teorema. Quyidagi

(1.2.10)

Kvadratur formulaning interpolyatsion bo’lishi uchun uning barcha (n-1) – darajali algebraik ko’phadlarni aniq integrallashi zarur va kifoyadir.

Isbot. Zarurligi. Agar (n-1) – darajali ko’phad bo’lsa, u holda (1.2.7) tenglikda bo’lib,

tenglik o’rinli bo’ladi va (1.2.10) qoida interpolyatsion qoida bo’lganidan (1.2.9) ga ko’ra:

Demak, (1.2.10) formula (n-1) – darajali ko’phadni aniq integrallaydi.

Kifoyaligi. (1.2.10) formula (n-1) – darajali ixtiyoriy ko’phad uchun aniq formuladir. Xususiy holda, (n-1) – darajali ushbu

ko’phad uchun ham aniq bo’ladi. Agar va ekanligini hisobga olsak,

kelib chiqadi. Demak, (1.2.10) qoida interpolyatsiondir, shu bilan teorema isbot bo’ldi.

Bu teoremadan ko’rinadiki, n nuqtali interpolyatsion kvadratur formulaning algebraik aniqlik darajasi n-1 dan kichik bo’lmasligi kerak.

Osongina ishonch hosil qilish mumkinki, yuqorida ko’rib o’tilgan to’g’ri to’rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalari interpolyatsion kvadratur formuladir. Agar [a,b] oraliqda n-tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lsa, u holda interpolyatsion formulaning qoldiq hadi ni

ko’rinishda yozish mumkin. Buni (1.1.2) ga qo’yib, kvadratur formula uchun

(1.2.11)

ga ega bo’lamiz. Endi n-tartibli uzluksiz hosilaga ega va hosilasi

(1.2.12)

tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfini qaraymiz. Bunday funksiyalar uchun (1.2.11) dan

(1.2.13)

ga ega bo’lamiz. Agar ko’phad [a,b] orliqqa o’z ishorasini saqlasa, u holda (1.2.13) baho aniq bo’lib, undagi tenglikka

ko’phadda erishiladi.

Endi interpolyatsion kvadratur formulalarning bir muhim xossasini ko’rib o’taylik. Avval ni aniqlaydigan integralda almashtirish bajaramiz. Agar deb belgilasak, u holda quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

bu yerda

(1.2.14)

va

Shunday qilib, (1.2.10) formula quyidagi

ko’rinishga keladi.

Teorema. Faraz qilaylik, vazn funksiya [a,b] oraliqning o’rta nuqtasiga nisbatan juft funksiya va tugunlar shu nuqtaga nisbatan simmetrik, ya’ni bo’lsin. U holda simmetrik tugunlarga mos keladigan kvadratur formulaning koeffisentlari o’zaro teng bo’ladi:

(1.2.16)

Isbot. Agar n juft bo’lsa, u holda

tengliklar o’rinlidir. Agar n toq bo’lsa, u holda, aksincha , bo’ladi. Har ikkala holda ham (1.2.14) da almashtirish bajarsak, quyidagiga ega bo’lamiz:

Shuni isbotlash talab qilingan edi. Bundan ko’rinadiki lar simmetrik joylashgan barcha larni hisoblash o’rniga larni hisoblash kifoyadir. Ikkinchi tomondan, bunday formulalar [a,b] oraliqning o’rtasiga nisbatan toq bo’lgan har qanday funksiya uchun aniq formuladir. Haqiqatdan ham, ning juft ekanligini e’tiborga olsak, bunday funksiyalar uchun va shu bilan birga (1.2.15) formulaga ko’ra . Demak, . Xususiy holda, (1.2.14) formula ko’rinishdagi ko’phadni aniq integrallaydi.

Endi xuddi shu kvadratur formulani n toq bo’lganda qaraylik. Bu formula ni aniq integrallaydi. Demak, bunday kvadratur formula ixtiyoriy n-darajali ko’phadni aniq integrallaydi. Shunday qilib, tugunlari soni 2m-1 yoki 2m bo’lsa, oraliq o’rtasiga nistbatan simmetrik joylashgan interpolyatsion kvadratur formulalar 2m-1 darajali ko’phadlar uchun aniq formuladir. Bunga to’g’ri to’rtburchak va Simpson formulalari misol bo’la oladi.

Toq tugunli kvadratur formulaning qoldiq hadini orqali emas, balki orqali ifodalash uchun integral ostidagi funksiyani yanada aniqroq nuqtada ikki karrali tugunga ega bo’lgan Ermit interpolyatsion ko’phadi bilan almashtirish kerak. Biz yuqorida to’g’ri to’rtburchak va Simpson formulalarning qoldiq hadlarini baholashda xuddi shunday qilgan edik.

Ko’rib o’tganimizdek, ya’ni uchta kvadratur formulalar to’g’ri to’rtburchak, trapetsiya, Simpson kvadratur formulalar aniq integarallarni taqribiy hisoblash uchun qo’llaniladi. Bulardan to’g’ri to’rtburchak va trpetsiya formulalari birinchi darajali ko’phadlar uchun aniq hisoblasa, Simpson formulasi esa, uchinchi darajali ko’phadni aniq hisoblaydi. Simpson formulasi biz kutgandan ko’ra yaxshiroq formuladir.

Interpolyatsion kvadratur formulalar bilan tanishdik. Endi bu formulalar ya’ni to’g’ri to’rtburchak, trapetsiya, Simpson formulalarning dasturlarini Mathcad dasturlash tilida yechimini va qoldiq hadini ya’ni xatosini ko’ramiz.

Dasturda qatnashgan o’zgaruvchilar:

– biz tuzgan dasturning chiqargan natijasi;

– Mathcad dasturining chiqargan natijasi;

R – qoldiq hadi.

Xulosa chiqaradigan bo’lsak, va funksiyalar orqali uchta kvadratur formulaning chiqargan natijasini ko’rdik. Demak, qoldiq hadlarni hisobga oladigan bo’lsak, to’g’ri to’rtburchakdan trapetsiya, trapetsiyadan Simpson kvadratur formulasi yaxshi natija berdi.