Galua gruppasi. Galua teoremasi. Galua nazariyasi

GALUA GRUPPASI. GALUA TEOREMASI.
GALUA NAZARIYASI — bir nomaʼlumli algebraik tenglamalar, yaʼni x»+ +a^-ʻ+a2x»:!+a11_1x+a11=(0)…(1) koʻrinishidagi tenglamalar nazariyasi. E. Galua yaratgan. Galua nazariyasi n ga koʻra, (1) tenglamaning ildizlari uning ag a2,…, ap koeffitsiyentlari orqali toʻrt arifmetik amal hamda ildizdan chiqarish amali yordamida ifoda etilishi kerak. Shuning uchun koʻpincha bunday masala (1) tenglamaning radikallarda yechilishi haqidagi masala deb ataladi. p=1 va i =2 boʻlgan hollar uchun bu masalaning yechimi qadimdan maʼlum. p=3 va p—4 uchun masala uygʻonish davri (16-a.) italyan matematiklari Bombelli, Ferro, Kardano, Tartalya, Ferrari tomonidan yechilgan. Keyingi uch asr mobaynida (1) tenglamani i =5 uchun radikallarda yechish borasidagi urinishlar natija bermadi. Nihoyat, 1824-y. da norveg matematigi N. G. Abel p —5 boʻlganda (demak, har qanday p>5 boʻlganda ham) umuman (1) tenglamani radikallarda yechib boʻlmasligini isbot qildi. Shundan keyin biror aniq (1) koʻrinishdagi tenglamani radikallarda yechishning zarur va yetarli shartlari qanday, degan va shunga oʻxshash masalalar kelib chiqa boshladi. Galua nazariyasi bu xil masalalarni bunday hal qiladi: har bir tenglamaga shu tenglama ildizlarining baʼzi chekli oʻrniga qoʻyishlari gruppasi taqqoslab koʻriladi (bu gruppa (1) tenglamaning Galua gruppasi deyiladi). Endi bu gruppada baʼzi xossalar (gruppaning yechimiga egaligi) bajarilgan yoki bajarilmaganligi tekshiriladi. Galua nazariyasi mat. ning boshqa masalalariga ham tatbiq qilinadi.
Yuqorida aytib o'tganimizdek, Abel radikallarda sonli koeffitsientli tenglamalarning echilishi uchun umumiy mezonni bera olmadi. Ammo bu masalaning echimi uzoq kutmagan edi. Bu Evelist Galoisga (1811 - 1832) tegishli bo'lib, u Abel singari juda yoshligida vafot etgan frantsuz matematikasi. Uning hayoti qisqa, ammo faol siyosiy kurash bilan to'lgan, matematikaga bo'lgan qiziqish iqtidorli kishining faoliyatida ilm-fanning to'plangan binolari uning rivojlanishining sifat jihatidan yangi bosqichiga aylanishining yorqin namunasidir.
Galua bir nechta asar yozishga muvaffaq bo'ldi. Rus nashrida uning asarlari, qo'lyozmalari va qo'pol yozuvlari kichik formatdagi kitobda atigi 120 sahifani tashkil etdi. Ammo bu asarlarning ahamiyati juda katta. Shuning uchun biz uning g'oyalari va natijalarini batafsil ko'rib chiqamiz.
Galois o'z ishida taqqoslashning to'liq ildizi bo'lmagan holatga e'tibor qaratadi. Uning yozishicha, "unda bu taqqoslashning ildizlarini xayoliy ramzlarning bir turi deb hisoblash kerak, chunki ular butun sonlarga qo'yiladigan talablarni qondirmaydi; bu belgilarning hisob-kitobdagi o'rni odatiy tahlildagi xayoliy rollar kabi foydali bo'ladi. " Bundan tashqari, u mohiyatan kamaytirilmaydigan tenglamani maydonga tutashishini ko'rib chiqadi (qisqartirilmaslik talabini aniq ko'rsatib beradi) va cheklangan maydonlar bo'yicha bir qator teoremalarni isbotlaydi. [Kolmogorov] ga qarang
Umuman olganda Galua tomonidan ko'rib chiqilgan asosiy masala nafaqat Abel tomonidan ko'rib chiqilgan 5-darajali tenglamalarda, balki umumiy algebraik tenglamalarning radikallaridagi eruvchanlik muammosi. Galuazaning ushbu sohadagi barcha tadqiqotlarining asosiy maqsadi barcha algebraik tenglamalar uchun eruvchanlik mezonini topish edi.
Shu munosabat bilan Galuazaning asosiy ishining mazmunini batafsil ko'rib chiqaylik, "Memoiresur les conditions de resolubilite des equations par radicaux - J. math, pures et appl., 1846).
Galua tenglamasiga amal qilishni ko'rib chiqamiz: qarang [Ribnikov]
Buning uchun biz ratsionallik sohasini - tenglama koeffitsientlarining ratsional funktsiyalari to'plamini aniqlaymiz:
R Ratsionallik maydoni bu maydon, ya'ni to'rtta harakatga nisbatan yopiq elementlarning to'plamidir. Agar - ratsional bo'lsa, unda R - ratsional sonlar maydoni; agar koeffitsientlar ixtiyoriy qiymatlar bo'lsa, unda R bu element elementlari maydoni:
Bu erda numerator va maxraj ko'pburchaklardir. Ratsionallik sohasini unga elementlar qo'shish orqali kengaytirish mumkin, masalan, tenglamaning ildizlari. Agar ushbu domenga tenglamaning barcha ildizlari qo'shilsa, unda tenglamaning echiluvchanligi masalasi ahamiyatsiz bo'ladi. Tenglamaning radikallarda echuvchanligi muammosi faqat ma'lum bir ratsionallik sohasiga nisbatan qo'yilishi mumkin. U ma'lum bo'lgan yangi miqdorlarni qo'shib, ratsionallik maydonini o'zgartirish mumkinligini ta'kidladi.
Shu bilan birga, Galois shunday deb yozadi: "Biz bundan tashqari, tenglamaning xususiyatlari va qiyinchiliklari unga biriktirilgan miqdorlarga muvofiq ravishda butunlay boshqacha bo'lishi mumkinligini ko'ramiz".
Galois har qanday tenglama uchun bir xil ratsionallik sohasida normal deb nomlangan ba'zi tenglamalarni topish mumkinligini isbotladi. Ushbu tenglamaning ildizlari va mos keladigan normal tenglama bir-biri orqali oqilona ifodalanadi.
Ushbu bayonot isbotlangandan so'ng Galuaning qiziqarli so'zlari kelib chiqadi: "Shunisi e'tiborliki, har qanday tenglama shunday yordamchi tenglamaga bog'liq ekan, degan xulosaga kelish mumkin, bu yangi tenglamaning barcha ildizlari bir-birining oqilona funktsiyalari".
Galoisning mulohazalarini tahlil qilish bizga oddiy tenglama uchun quyidagi ta'rifni beradi:
Oddiy tenglama - bu uning barcha ildizlari ulardan bittasi va koeffitsient maydonining elementlari orqali oqilona ifodalanadigan xususiyatga ega bo'lgan tenglama.
Oddiy tenglamaga misol qilib tenglama keltirish mumkin: Uning ildizlari
Masalan, kvadrat tenglama ham normaldir.
Shunisi e'tiborga loyiqki, Galois oddiy tenglamalarni maxsus o'rganishda to'xtamaydi, u faqat bunday tenglamani "boshqalarga qaraganda osonroq echishini" ta'kidlaydi. Galois ildiz almashtirishlarni ko'rib chiqishni davom ettiradi.
Uning so'zlariga ko'ra, normal tenglama ildizlarining barcha permutatsiyalari G guruhini tashkil etadi. G. guruhining permutatsiyalari. Shunday qilib, Galois har bir tenglama bilan uning ildizlarini almashtirish guruhini bog'ladi. Shuningdek, u (1830) "guruh" atamasini kiritdi - zamonaviyga mos keladigan, ammo u qadar rasmiylashtirilmagan ta'rif.
Galua guruhining tuzilishi tenglamalarning radikallarda echuvchanligi muammosi bilan bog'liq bo'lib chiqdi. Qarorlilikning yuzaga kelishi uchun tegishli Galois guruhi hal etilishi zarur va etarli. Bu shuni anglatadiki, bu guruhda asosiy indekslarga ega normal bo'luvchilar zanjiri mavjud.
Eslatib o'tamiz, oddiy bo'linuvchilar yoki xuddi shu narsa o'zgarmas kichik guruhlar G guruhining kichik guruhlari.
bu erda g G guruhining elementidir.
Umuman olganda umumiy algebraik tenglamalarda bunday zanjir mavjud emas, chunki almashtirish guruhlarida indeks 2 ning bitta bitta normal bo'luvchisi, hatto barcha almashtirishlarning kichik guruhi mavjud. Shuning uchun, radikallardagi bu tenglamalar, umuman aytganda, hal qilish mumkin emas. (Va biz Galois natijasi bilan Abel natijasi o'rtasidagi bog'liqlikni ko'ramiz).
Galois quyidagi asosiy teoremani shakllantirdi:
Har qanday berilgan tenglama va har qanday ratsionallik mintaqasi uchun har qanday ratsional funktsiya xususiyatiga ega bo'lgan ushbu tenglamaning ildizlarini almashtirish guruhi mavjud, ya'ni. ushbu ildizlardan va ratsionallik mintaqasining elementlaridan oqilona operatsiyalar yordamida tuzilgan funktsiya - bu guruhning permutatsiyalari ostida o'z raqamli qiymatlarini saqlab turadigan, ratsional (ratsionallik mintaqasiga mansub) qiymatlarga ega va aksincha: ushbu guruhning permütatsiyasi ostida ratsional qiymatlarni qabul qiladigan har qanday funktsiya saqlanib qoladi ushbu qadriyatlar.
Keling, Galua o'zi o'rgangan alohida bir misolni ko'rib chiqaylik. Gap shundaki, qisqartirilmaydigan darajadagi tenglama, bu erda oddiy bo'lgan, ikki davrli tenglamalar yordamida echiladigan shartlar topiladi. Galois ushbu shartlar tenglamaning ildizlarini shunday "joylashish" guruhi formulalar bilan beriladigan tarzda joylashtirish imkoniyatidan iborat ekanligini aniqladi.
bu erda har qanday songa teng bo'lishi mumkin va b ga teng. Bunday guruhda ko'pi bilan p (p - 1) almashtirish mavjud. Faqat $ p $ almashtirish bo'lsa, biz tsiklik guruh haqida gapiramiz; umuman, guruhlar metatsiklik deb nomlanadi. Shunday qilib, radikallarda tub darajaning kamaytirilmaydigan tenglamasini yechuvchanligi uchun zarur va etarli shart uning guruhi metatsiklik bo'lishi shartidir - muayyan holatda tsiklik guruh.
Endi Galua nazariyasi doirasi uchun belgilangan chegaralarni belgilash mumkin. Bu bizga reventsiyadan foydalangan holda tenglamalarni echish qobiliyatining ma'lum bir umumiy mezonini beradi va ularni topish yo'lini ham ko'rsatadi. Ammo bu erda bir qator qo'shimcha muammolar darhol paydo bo'ladi: ma'lum bir ratsionallik mintaqasi uchun aniq, oldindan belgilab qo'yilgan permutatsiyalar guruhiga ega bo'lgan barcha tenglamalarni topish; ushbu turdagi ikkita tenglama bir-biriga kamaytirilishi mumkinmi yoki yo'q bo'lsa, nima yordamida va hokazo. Bularning barchasi birgalikda bugungi kunda hal qilinmagan ulkan muammolarni tashkil etadi. Galua nazariyasi bizni ularga hal qiladi, ammo ularni hal qilish uchun hech qanday vosita bermaydi.
Algebraik tenglamalarning radikallarda echuvchanligini o'rnatish uchun Galua tomonidan kiritilgan apparat ushbu muammo doirasidan tashqariga chiqadigan ma'noga ega edi. Uning algebraik maydonlar tuzilishini o'rganish va ular bilan cheklangan sonli permutatsiyalar guruhlari tuzilishini taqqoslash haqidagi g'oyasi zamonaviy algebra uchun samarali asos bo'ldi. Biroq, u darhol tan olinmadi.
Uning hayotini tugatgan halokatli dueldan oldin Galois o'zining eng muhim kashfiyotlarini bir kechada shakllantirdi va fojiali holat yuz berganda do'sti O. Chevalyerga nashr etish uchun yubordi. Keling, O. Chevalyerga yozgan maktubidan taniqli parchani keltiraylik: «Siz ommaviy ravishda Jakobi yoki Gaussdan adolat to'g'risida emas, balki ushbu teoremalarning ahamiyati to'g'risida xulosa berishlarini so'raysiz. Shundan so'ng, umid qilamanki, bu barcha chalkashliklarni hal qilishda o'zlariga foyda keltiradigan odamlar bo'ladi. " Galua nafaqat tenglamalar nazariyasini yodda tutgan, balki o'sha maktubida Abeliya va modulli funktsiyalar nazariyasining chuqur natijalarini shakllantirgan.
Ushbu xat Galois vafotidan ko'p o'tmay nashr etilgan, ammo undagi fikrlar javob topolmadi. Faqat 14 yil o'tib, 1846 yilda Lyuvil Galuaning barcha matematik asarlarini tahlil qildi va nashr etdi. XIX asrning o'rtalarida. Serrening ikki jildli monografiyasida, shuningdek, E. Betti (A852) asarlarida birinchi bo'lib Galua nazariyasining izchil ekspozitsiyalari paydo bo'ldi. Va faqat o'tgan asrning 70-yillaridan boshlab Galoisning g'oyalari yanada rivojlana boshladi.
Galua nazariyasidagi guruh tushunchasi kuchli va moslashuvchan vositaga aylanadi. Masalan, Koshi almashtirishlarni ham o'rgangan, ammo u bunday rolni guruh tushunchasiga qo'shishni xayoliga ham keltirmagan. Koshi uchun, hatto 1844-1846 yillardagi keyingi ishlarida ham. "Konjugat almashtirishlar tizimi" ajralmas tushuncha edi, juda qattiq; u uning xususiyatlaridan foydalangan, ammo hech qachon kichik guruh va oddiy kichik guruh tushunchasini ochib bermagan. Ushbu nisbiylik g'oyasi, Galoisaning o'z ixtirosi, keyinchalik guruh nazariyasidan kelib chiqqan barcha matematik va fizik nazariyalarga kirib bordi. Biz ushbu g'oyani amalda, masalan, Erlangen dasturida ko'ramiz (bu haqda keyinroq batafsil)
Galua ishlarining ahamiyati shundaki, ular tenglamalar nazariyasining yangi chuqur matematik qonunlarini to'liq ochib berishgan. Galois kashfiyotlarini o'zlashtirgandan so'ng, algebraning o'zi shakli va maqsadlari sezilarli darajada o'zgardi, tenglamalar nazariyasi g'oyib bo'ldi - maydon nazariyasi, guruh nazariyasi va Galua nazariyasi paydo bo'ldi. Galoisning erta vafoti ilm uchun tuzatib bo'lmaydigan yo'qotish bo'ldi. Bo'shliqlarni to'ldirish, Galoisning ishlarini tushunish va takomillashtirish uchun yana bir necha o'n yillar kerak bo'ldi. Keyli, Serr, Iordaniya va boshqalarning sa'y-harakatlari bilan Galoisning kashfiyotlari Galua nazariyasiga aylantirildi. 1870 yilda Iordaniyaning "Almashtirish va algebraik tenglamalar to'g'risida risola" monografiyasi ushbu nazariyani hamma uchun tushunarli bo'lgan tizimli taqdimotda taqdim etdi. Shu vaqtdan boshlab Galua nazariyasi matematik ta'lim elementi va yangi matematik tadqiqotlar uchun asos bo'ldi.
Galois nazariyasini eslay olmasligimni birdan angladim va qog'ozdan foydalanmasdan va asosiy tushunchalardan boshqa hech narsani bilmasdan qaerdan olishim mumkinligini bilishga qaror qildim - maydon, chiziqli bo'shliq, bitta o'zgaruvchining polinomlari, Horner sxemasi, Evklid algoritmi, avtomorfizm, almashtirish guruhi. ... Xo'sh, ortiqcha aql. Bu juda uzoq bo'lib chiqdi, shuning uchun sizga batafsil aytib beraman.

K maydonini va uning ustiga kamaytirilmaydigan p darajali A (x) polinomini oling. Biz A ni chiziqli omillarga ajralishi uchun K ni kengaytirmoqchimiz. Boshlaymiz. Biz yangi A elementini qo'shing, bu haqda biz faqat A (a) \u003d 0 ekanligini bilamiz. Shubhasiz, siz (p-1) d ga barcha darajalarni va ularning barcha chiziqli birikmalarini qo'shishingiz kerak bo'ladi. Biz p o'lchovli K ustida vektorli bo'shliqni olamiz, unda qo'shish va ko'paytirish aniqlanadi. Ammo - hurra! - bo'linish ham aniqlanadi: p dan kichik darajadagi har qanday B (x) polinom A (x) ga koprime bo'ladi va Evklid algoritmi bizga B (x) C (x) + A (x) M (x) \u003d 1 ni beradi polinomlar C va M. Va keyin B (a) C (a) \u003d 1 - biz B (a) uchun teskari elementni topdik. Shunday qilib, K (a) maydon izomorfizmgacha noyob tarzda aniqlanadi va uning har bir elementi a va K elementlari nuqtai nazaridan o'ziga xos aniqlangan "kanonik ifodaga" ega bo'ladi. Biz yangi K (a) maydonda A (x) ni kengaytiramiz. Biz biladigan bitta chiziqli omil (x-a). U bilan bo'ling, natija kamayib bo'lmaydigan omillarga aylanadi. Agar ularning hammasi chiziqli bo'lsa, biz yutdik, aks holda biz chiziqsizni olamiz va shunga o'xshash tarzda uning ildizlaridan birini qo'shamiz. Va shuning uchun ham g'alaba qozonguncha (yo'l bo'ylab K o'lchamini hisoblash: har bir qadamda u biror narsaga ko'paytiriladi). Yakuniy natijani K (A) deb ataymiz.

Endi tushunish uchun izomorfizm nima ekanligini aql-idrok va tushunishdan boshqa hech narsa talab qilinmaydi: biz teoremani isbotladik.
Teorema. Har qanday K soha va uning ustiga pasaytirilmaydigan p darajadagi har qanday A (x) polinom uchun izomorfizmgacha quyidagi xususiyatlarga ega bo'lgan K (A) kengaytma mavjud:
1. A (x) K (A) ustidan chiziqli omillarga ajraladi
2. K (A) K va A (x) ning barcha ildizlari tomonidan hosil qilinadi
3. Agar T o'z ichiga K (A) ni chiziqli omillarga parchalanadigan har qanday maydon bo'lsa, u holda K va A (x) ning T ildizlari K (A) ga izomorf maydon hosil qiladi va bir xil T har qanday avtomorfizm ta'sirida o'zgarmas bo'ladi. TO.
4. K da bir xil bo'lgan K (A) avtomorfizmlar guruhi A (x) ildizlar to'plamiga permutatsiyalar orqali ta'sir qiladi. Ushbu harakat aniq va o'tkinchi. Uning tartibi K (A) ning K ga teng o'lchamiga teng.
Aytgancha, agar jarayonning har bir bosqichida (x-a) ga bo'linib, qaytarilmas polinom yana qolsa, u holda kengaytmaning o'lchami p ga teng bo'ladi! Va guruh p darajadagi to'liq nosimmetrikdir. (Aslida, shubhasiz, "agar shunday bo'lsa".)
Masalan, agar A umumiy polinom bo'lsa, bu sodir bo'ladi. Bu nima? Bu uning a_0, a_1, ..., a_p \u003d 1 koeffitsientlari K ga nisbatan algebraik jihatdan mustaqil bo'lganda, agar biz Horner sxemasi bo'yicha A (x) ni x-a ga bo'lsak (buni bizning fikrimizda qilish mumkin, shu maqsadda u shunday sodda ixtiro qilingan) ), keyin biz koeffitsientlar allaqachon K (a) ga nisbatan algebraik jihatdan mustaqil ekanligini ko'ramiz. Shunday qilib, induksiya bo'yicha hamma narsa yuqori.

O'ylaymanki, bunday boshlang'ich kirish so'zlaridan so'ng, boshqa barcha tafsilotlar bilan har qanday kitobni tushunish ancha osonlashadi.

Galua nazariyasi - algebraning bir bo'lagi bo'lib, u maydon nazariyasining ba'zi savollarini guruh nazariyasi tilida qayta shakllantirishga imkon beradi, ularni ma'lum ma'noda soddalashtiradi.
Evariste Galois ushbu nazariyaning asosiy bayonotlarini ma'lum bir polinomning ildizlarini almashtirish (ratsional koeffitsientlar bilan) bo'yicha shakllantirgan; u birinchi bo'lib "guruh" atamasini kompozitsiyaga nisbatan yopiq va bir xil almashtirishni o'z ichiga olgan bir qator permutatsiyalar to'plamini tavsiflash uchun ishlatgan.
Galua nazariyasiga zamonaviyroq yondoshish - bu kengaytmaga mos keladigan Galua guruhidan foydalanib, o'zboshimchalik bilan maydon kengaytmasi avtomorfizmlarini o'rganishdir.
Galois nazariyasi klassik muammolarni hal qilishda yagona nafis yondashuvni taqdim etadi:
Kompas va o'lchagich yordamida qanday shakllarni qurish mumkin?
Standart algebraik amallar (qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish va ildiz chiqarish) yordamida qanday algebraik tenglamalarni echish mumkin?
Galois nazariyasiga nisbatan mavhumroq yondashuv 1960 yilda Aleksandr Grotendik tomonidan ishlab chiqilgan. Ushbu yondashuv Galois nazariyasining asosiy natijalarini berilgan xususiyatlarga ega bo'lgan har qanday toifaga tatbiq etishga imkon beradi (masalan, ko'p mahsulot va dekartiy kvadratlarining mavjudligi). Xususan, bu Galois nazariyasining natijalarini nazariyani qoplash uchun o'tkazishimizga imkon beradi.
Ma'ruzalarni fizika-matematika fanlari doktori, o'yin nazariyasi sohasi mutaxassisi, Dmitriy Pojarskiy universiteti rektori, ISU dotsenti, bolalar va kattalar orasida matematikani ommalashtiruvchi Aleksey Vladimirovich Savvateev o'qiydi. U bir vaqtning o'zida bir nechta ilmiy muassasalarda, shu jumladan NES ijtimoiy aloqalarni va jamiyat xilma-xilligini o'rganish laboratoriyasida ishlaydi. Ma'lumotlarni tahlil qilish maktabida Yandex-da ma'ruzalar o'qiydi, nazariy tadqiqotlarda ishtirok etadi.