Furye qatori va uning tatbiqlari

Furye qatori va uning tatbiqlari

1. Furye qatori. Quyidagi funksional qator



trigonometrik qator deyiladi, a₀, a₁, b₁, a₂ ,b₂,…,a_n ,b_n,…sonlar trigonometrik qatorning koeffitsientlari deyiladi. Agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda qatorning yig‘indisi ham davriy funksiya bo‘ladi.

f(x) funksiya bu qatorning yig‘indisi bo‘lsin:

(1)

Bu qatorni [-π, π] segmentda yaqinlashuvchi deb faraz qilib, uning koeffitsientlarini topiladi.

(2)

(3)

(4)

(2), (3) va (4) formulalar bilan aniqlangan (1) trigonometrik qator davri boʻlgan f(x) funksiyaning Furye qatori deb ataladi. a_o, a_n va b_n( )sonlar esa Furye koeffitsientlari deyiladi.

1-misоl. Ushbu 2 davrli

funksiyani Furye qatoriga yoying.

►Qatorning koeffitsientlarini (2), (3), (4) formulalar bo‘yicha topamiz:

Bundan, bo‘lganligi uchun berilgan funksiya uchun Furye qatori quyidagicha bo‘ladi:

◄

2. Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari. f(x) funksiya juft va toq bo‘lgan hollardagi Furye qatoriga yoyilmasi o‘ziga xos formulalar bilan hisoblanadi.

a) juft funksiya bo‘lsa,



(5)

Shunga ko‘ra juft funksiyaning Furye qatori quyidagicha bo‘ladi:

b) toq funksiya bo‘lsa,



. (7)

Toq funksiyaning Furye qatori quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

2-misol. Ushbu - < x   intervalda berilgan 2 davrli f(x)=x funksiyani Furye qatoriga yoying.

			y
	-2π	-π	0	π	2π x

► f(x) juft funksiya bo‘lganligi uchun qatorning koeffitsientlarini (5) formulalar bo‘yicha topamiz.

;

Demak,

Berilgan funksiya uchun Furye qatori quyidagicha bo‘ladi:

◄

Davri 2l bo‘lgan funksiyalarni Furye qatoriga yoyish. Funksiyaning davri 2l bo‘lsa, u almashtirish yordamida 2π davrga keltiriladi va hosil boʻlgan funksiyani Furye qatoriga yoyiladi. Soʻng almashtirish bajarib quyidagi formulalarni topamiz:

(9)
(10)

Davri 2l bo‘lgan juft funksiyalar uchun Furye qatori quyidagicha bo‘ladi:

(11)
(12)
(13)
Davri 2l bo‘lgan toq funksiyalar uchun Furye qatori quyidagicha bo‘ladi:

(14)

(15)

3-misol. Ushbu -1 < x  1 intervalda berilgan 2l = 2 davrli f(x)= x - 1 funksiyani Furye qatoriga yoying va grafigini chizing.

► Berilgan funksiyaning Furye qatorini topishda (9), (10) formulalardan foydalanamiz, bu yerda l = 1.

◄

Ko‘pincha [0;l] kesmada berilgan funksiyani sinuslar bo‘yicha, yoki kоsinuslar bo‘yicha qatоrga yoyish masalasi talab etiladi.

funksiyani kоsinuslar bo‘yicha qatоrga yoyish uchun funksiyani [0;l] kesmadan [-l;l] kesmaga juft davоm ettiriladi. Bu hоlda Furye qatоr faqat kоsinuslarni o‘z ichiga оladi.

Agar funksiyani qatоrga sinuslar bo‘yicha yoyishni istasak, u hоlda funksiyani [0; l] kesmadan [-l;l] kesmaga tоq davоm ettiramiz, bunda deb оlishimiz kerak. Bu hоlda Furye qatоr faqat sinuslarni o‘z ichiga оladi.

4-misol. Ushbu 0 < x  π intervalda berilgan funksiyani kosinuslar boʻyicha Furye qatoriga yoying.

► Berilgan funksiyani kosinuslar boʻyicha Furye qatoriga yoyish uchun juftga davom ettiramiz:

;

Bundan,

Berilgan funksiya uchun Furye qatori quyidagicha bo‘ladi:

◄