Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi qanday ta'riflanadi? Hosilaning gеomеtrik ma'nosi nimadan iborat?

Murakkab funksiyaning differensiallash qoidasini keltirib chiqaramiz.

Teorema: Murakkab F(u) funksiyaning erkli o`zgaruvchi x bo`yicha hosilasi bu funksiya oraliq argumenti bo`yicha hosilasini oraliq argumentining erkli o`zgaruvchi x bo`yicha hosilasining ko`paytmasiga teng, ya’ni



Misol:         funksiyaning hosilasini toping.

Yechish: berilgan funksiyani murakkab funksiya deb qaraymiz ya’ni      (1) formulaga asosan

 

Differensiallashning asosiy formulalari jadvali

1) y=const ;          2)          

3)    4)   

5)  6) 

7)  8) 

9) 10) 

11)  12)  

2. Hosilaning gеomеtrik ma'nosi nimadan iborat?

Agar bu chegara mavjud bo'lsa, u holda funktsiya nuqtada differentsial deyiladi. Funktsiyaning hosilasi belgilanadi (2-formula).

Hosilaning geometrik ma'nosi. Funksiya grafigini ko'rib chiqing. 1-rasm shuni ko'rsatadiki, funktsiya grafigining istalgan ikkita A va B nuqtalari uchun 3) formulani yozish mumkin. Unda AB sekantining moyilligi burchagi.

Shunday qilib, farq koeffitsienti sekant nishabiga teng. Agar siz A nuqtani tuzatib, B nuqtani unga qarab siljitsangiz, u cheksiz kamayadi va 0 ga yaqinlashadi va AB sekantasi teginuvchi AC ga yaqinlashadi. Binobarin, farq koeffitsientining chegarasi A nuqtadagi tangens qiyaligiga tengdir, shuning uchun xulosa kelib chiqadi.Funksiyaning nuqtadagi hosilasi shu funksiyaning shu nuqtadagi grafigiga tegishliligi. Bu hosilaning geometrik ma'nosi.Tangens tenglamasi ... Funksiyaning bir nuqtadagi grafigiga tegishliligi tenglamasini keltiraylik. Umumiy holda, nishab bilan to'g'ri chiziqning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:. B ni topish uchun biz teginish A: nuqtadan o'tishi faktidan foydalanamiz. Bu quyidagilarni anglatadi:. Ushbu ifodani b o'rniga qo'yib, biz teginish tenglamasini olamiz

Hosilaning geometrik qiymatini bilish uchun y = f (x) funktsiya grafigini ko'rib chiqing. Koordinatalari (x, y) va unga nuqta N (x + $ \ Delta $ x, y + $ \ Delta $ y) bo'lgan ixtiyoriy M nuqtani oling. $ \ Overline (M_ (1) M) $ va $ \ overline (N_ (1) N) $ ordinatalarini va M nuqtadan - OX o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni chizamiz.

$ \ Frac (\ Delta y) (\ Delta x) $ nisbati $ M $ sekanant tomonidan $ OX $ o'qining ijobiy yo'nalishi bilan hosil bo'lgan $ \ alfa $ 1 burchagi. $ \ Delta $ x nolga intilganligi sababli, N nuqta M ga yaqinlashadi va MN sekantining chegaraviy pozitsiyasi M nuqtadagi egri chiziqqa MT bilan teginish bo'ladi. Shunday qilib, f` (x) hosilasi tangensiga teng tegish bilan hosil bo'lgan $ \ alfa $ burchagi OX o'qiga ijobiy yo'nalish bilan M (x, y) nuqtada egilish uchun Formulalar bo'yicha qiymatlarni hisoblashda (1), belgilarda adashmaslik muhim, chunki o'sish ham salbiy bo'lishi mumkin.Egri chiziqda yotgan N nuqta har qanday tomondan M ga yaqinlasha oladi. Shunday qilib, agar 1-rasmda tangensga teskari yo'nalish berilgan bo'lsa, $ \ alfa $ burchagi $ \ pi $ ga o'zgaradi, bu burchakning tangensiga va shunga mos ravishda nishabga sezilarli ta'sir qiladi.Bundan kelib chiqadiki, lotin mavjudligi y = f (x) egri chizig'iga tegishliligi bilan bog'liq, va qiyalik - tg $ \ alfa $ = f` (x) chekli. Shuning uchun tegang OY o'qiga parallel bo'lmasligi kerak, aks holda $ \ alpha $ = $ \ pi $ / 2 va burchakning teginasi cheksiz bo'ladi.

Ayrim nuqtalarda uzluksiz egri chiziq teginmas yoki OY o'qiga parallel ravishda teginishga ega bo'lishi mumkin (2-rasm). Keyin, ushbu qiymatlarda funktsiya lotin bo'lishi mumkin emas. Funktsiya egri chizig'ida shuncha nuqta bo'lishi mumkin.

Shakl 2. Egri chiziqning istisno nuqtalari. $ \ Delta $ x manfiy yoki musbat qiymatlar tomonidan nolga teng bo'lsin:

\ [\ Delta x \ dan -0 \ begin (array) (cc) () & (\ Delta x \ to +0) \ end (array) \]

Agar bu holda (1) munosabatlar yakuniy chegaraga ega bo'lsa, u quyidagicha belgilanadi:

Birinchi holda, chap tomonda, ikkinchisida, o'ngda hosila.

Chegaraning mavjudligi chap va o'ng hosilalarning tengligi va tengligini ko'rsatadi:

Agar chap va o'ng hosilalar teng bo'lmasa, u holda bu erda OY ga parallel bo'lmagan tegmalar mavjud (M1 nuqta, 2-rasm). M2, M3 nuqtalarida munosabatlar (1) cheksizlikka intiladi.

$ M ^ 2 $ ning chap tomonida joylashgan $ N $ uchun $ Delta $ x $

$ M_2 $, $ \ Delta $ x $> 0 0 ning o'ng tomonida, lekin ifoda $ f (x + $ \ Delta $ x) - f (x) $

$ M_3 $ $ chapda $ \ Delta $ x $$ 0 va f (x + $ \ Delta $ x) - f (x) $> 0 0, ya'ni. chapda ham, o'ngda ham (1) iboralar ijobiy va $ \ Delta $ x $ -0 va +0 ga yaqinlashganda $ + \ infty $ ga moyil bo'ladi.

To'g'ri chiziqning aniq nuqtalarida (x = c) lotin yo'qligi holati 3-rasmda keltirilgan.

funktsiya grafigi va $ x_0 $ abstsissasi bo'lgan nuqtadagi grafaga tegishliligi ko'rsatilgan. Abstsissadagi funktsiya hosilasining qiymatini toping.

Qaror. Nuqtadagi hosila funktsiya ~ o'sishining argument o'sishiga nisbatiga teng. Tangensda butun koordinatalari bo'lgan ikkita nuqtani tanlaymiz. Masalan, ular F (-3,2) va C (-2,4) nuqtalar bo'lsin.Matematik masalalar ko'plab fanlarda o'z qo'llanilishini topadi. Bularga nafaqat fizika, kimyo, muhandislik va iqtisodiyot, balki tibbiyot, ekologiya va boshqa fanlarni ham kiritish mumkin. Muhim dilemmalarga echim topish uchun o'zlashtirish kerak bo'lgan muhim tushunchalardan biri bu funktsiya hosilasi. Uning fizik ma'nosini tushuntirish hech qanday qiyin emas, chunki savol mohiyatida tushunarsizlarga tuyulishi mumkin. Haqiqiy hayotda va oddiy kundalik vaziyatlarda bunga mos misollarni topish kifoya. Darhaqiqat, har qanday avtoulovchi har kuni tezlik o'lchagichga qaraganida, xuddi shu vaqtning o'zida o'z mashinasining tezligini aniqlab, shunga o'xshash vazifani uddalaydi. Darhaqiqat, aynan shu parametrda lotin fizik ma'nosining mohiyati yotadi.

Tezlikni qanday topish mumkin

Har qanday beshinchi sinf o'quvchisi bosib o'tgan masofasi va sayohat vaqtini bilib, odamning yo'lda harakatlanish tezligini bemalol aniqlay oladi. Buning uchun berilgan qiymatlarning birinchisini ikkinchisiga ajrating. Ammo har bir yosh matematik hozirgi paytda u funktsiya va argument o'sishining nisbatini topayotganini bilmaydi. Darhaqiqat, biz harakatni grafik shaklida ifodalasak, yo'lni ordinataga va abstsissa bo'ylab vaqtni chizamiz, bu aynan shunday bo'ladi.

Shu bilan birga, biz harakatni bir xil deb hisoblagan holda, piyodaning yoki boshqa biron bir narsaning tezligi yo'lning katta qismida aniqlaymiz. Harakatning ko'plab shakllari fizikada ma'lum. U nafaqat doimiy tezlashuv bilan, balki o'zboshimchalik bilan sekinlashishi va ko'payishi bilan ham amalga oshirilishi mumkin. Shuni ta'kidlash kerakki, bu holda harakatni tavsiflovchi chiziq endi to'g'ri chiziq bo'lmaydi. Grafik jihatdan u eng murakkab konfiguratsiyalarni qabul qilishi mumkin. Ammo grafaning har qanday nuqtasi uchun biz har doim chiziqli funktsiya bilan ifodalangan tanjans chizishimiz mumkin. Vaqtga qarab siljish o'zgarishi parametrini aniqlashtirish uchun o'lchangan segmentlarni qisqartirish kerak. Ular cheksiz kichrayib qolganda, hisoblangan tezlik bir zumda bo'ladi. Ushbu tajriba lotinni aniqlashda yordam beradi. Uning jismoniy ma'nosi ham mantiqan shunday fikrlardan kelib chiqadi.

Geometrik

Ma'lumki, tananing tezligi qanchalik yuqori bo'lsa, siljishning vaqtga bog'liqligi grafigi va shuning uchun ma'lum bir nuqtada gangensga tegish burchagi keskinroq bo'ladi. Bunday o'zgarishlarning ko'rsatkichi abstsissa o'qi va teginish chizig'i orasidagi burchakning tegishi bo'lishi mumkin. Aynan u lotin qiymatini aniqlaydi va abstsissa o'qining bir nuqtasidan tushgan perpendikulyar hosil qilgan to'rtburchaklar burchakli uchburchakda qarama-qarshi uzunlikdagi qo'shni oyoqqa nisbati bilan hisoblanadi. Bu birinchi hosilaning geometrik ma'nosi. Jismoniy narsa, bizning holatimizdagi qarama-qarshi oyoqning kattaligi bosib o'tgan yo'lni va qo'shni bir martalikni anglatishi bilan aniqlanadi. Bunday holda, ularning nisbati tezlikdir. Va yana shunday xulosaga keldikki, har ikkala oraliq cheksiz kichik bo'lishga moyil bo'lganda aniqlanadigan oniy tezlik uning fizik ma'nosiga ishora qiluvchi mohiyatdir. Ushbu misolda keltirilgan ikkinchi hosila tananing tezlashishi bo'ladi, bu o'z navbatida tezlikning o'zgarishi tezligini namoyish etadi.

Fizikadan hosilalarni topish misollari

Hosila - bu so'zning to'g'ridan-to'g'ri ma'nosida harakat bo'lmasa ham, har qanday funktsiyani o'zgartirish tezligining ko'rsatkichidir. Buni ko'rsatish uchun biz bir nechta aniq misollarni keltiramiz. Aytaylik, hozirgi kuch, vaqtga qarab, quyidagi qonunga muvofiq o'zgaradi: Men= 0,4t 2. Jarayonning 8-soniyasining oxirida ushbu parametr o'zgaradigan tezlik qiymatini topish talab qilinadi. E'tibor bering, kerakli qiymatning o'zi, tenglamadan kelib chiqqan holda, doimiy ravishda oshib boradi.Uni hal qilish uchun jismoniy ma'nosi ilgari ko'rib chiqilgan birinchi hosilani topish talab qilinadi. Bu yerda dI/ dt = 0,8 t... Keyin biz buni topamiz t=8 , biz hozirgi kuch o'zgarishi tezligi teng bo'lishini olamiz 6,4 A/ v. Bu erda oqim kuchi amperda, vaqt esa tegishlicha soniyada o'lchanadi deb hisoblanadi.Moddadan iborat ko'rinadigan atrof olami doimiy ravishda o'zgarib turadi, unda sodir bo'layotgan turli jarayonlar harakatida bo'ladi. Ularni tavsiflash uchun turli xil parametrlardan foydalanish mumkin. Agar ular qaramlik bilan birlashtirilgan bo'lsa, ular matematik ravishda ularning o'zgarishini grafik ravishda ko'rsatadigan funktsiya shaklida yoziladi. Harakat mavjud bo'lgan joyda (u qanday shaklda ifodalangan bo'lsa), hozirgi paytda biz fizik ma'nosini ko'rib chiqadigan lotin ham mavjud. Shu munosabat bilan quyidagi misol. Aytaylik, tana harorati qonun bo'yicha o'zgaradi T=0,2 t 2 ... 10 soniya oxirida qizib ketish tezligini toping. Muammo oldingi holatda tasvirlanganga o'xshash tarzda hal qilinadi. Ya'ni, biz lotinni topamiz va qiymatini almashtiramiz t= 10 , biz olamiz T= 0,4 t= 4. Bu shuni anglatadiki, yakuniy javob sekundiga 4 daraja deb hisoblanadi, ya'ni isitish jarayoni va haroratning o'zgarishi, daraja bilan o'lchanishi aynan shunday tezlikda sodir bo'ladi.

Albatta, haqiqiy hayotda hamma narsa nazariy muammolarga qaraganda ancha murakkabroq. Amaliyotda kattaliklarning qiymati odatda tajriba davomida aniqlanadi. Bunday holda, o'lchovlar paytida ma'lum bir xato bilan o'qiydigan qurilmalar qo'llaniladi. Shuning uchun, hisoblashda parametrlarning taxminiy qiymatlari bilan shug'ullanish va noqulay raqamlarni yaxlitlash va boshqa soddalashtirishga murojaat qilish kerak. Shuni inobatga olgan holda, biz yana tabiatning sodir bo'ladigan eng murakkab jarayonlarning matematik modeli ekanligini hisobga olib, hosilaning fizik ma'nosi muammolariga qaytamiz.

Vulqon otilishi

Vulqon otilishi mavjudligini tasavvur qiling. U qanchalik xavfli bo'lishi mumkin? Ushbu masalaga oydinlik kiritish uchun ko'plab omillarni hisobga olish kerak. Biz ulardan birini hisobga olishga harakat qilamiz."Olovli yirtqich hayvon" ning og'zidan toshlar vertikal ravishda yuqoriga qarab tashlanadi, ular chiqqandan boshlab boshlang'ich tezlikka ega.Ularning maksimal balandlikka qanday etib borishini hisoblash kerak.

Kerakli qiymatni topish uchun balandlikning metr bilan o'lchangan H balandligining boshqa miqdorlarga bog'liqligi tenglamasini tuzamiz. Bularga dastlabki tezlik va vaqt kiradi. Biz tezlashuv qiymatini ma'lum va taxminan 10 m / s 2 ga teng deb bilamiz.

Qisman lotin

Endi funksiya hosilasining fizik ma'nosini boshqa tomondan biroz ko'rib chiqamiz, chunki tenglamaning o'zi bitta emas, balki bir nechta o'zgaruvchini o'z ichiga olishi mumkin. Masalan, avvalgi masalada vulqon og'zidan otilgan toshlar ko'tarilish balandligining bog'liqligi nafaqat vaqtinchalik xususiyatlarning o'zgarishi, balki boshlang'ich tezlikning qiymati bilan ham aniqlangan. Ikkinchisi doimiy, doimiy qiymat deb hisoblangan. Ammo umuman boshqacha sharoitga ega bo'lgan boshqa vazifalarda hamma narsa boshqacha bo'lishi mumkin. Agar murakkab funktsiya bog'liq bo'lgan bir nechta miqdorlar mavjud bo'lsa, hisob-kitoblar quyidagi formulalar bo'yicha amalga oshiriladi.Qisman lotinning jismoniy ma'nosi odatdagi holatda bo'lgani kabi aniqlanishi kerak. Bu o'zgaruvchining parametrining oshishi bilan ma'lum bir nuqtada funktsiyani o'zgartirish tezligi. U shunday hisoblab chiqilganki, boshqa barcha komponentlar doimiy sifatida qabul qilinadi, faqat bittasi o'zgaruvchan deb hisoblanadi. Keyin hamma narsa odatdagi qoidalarga muvofiq sodir bo'ladi.Hosilaning fizik ma'nosini tushunib, murakkab va murakkab masalalarni echishga misollar keltirish qiyin emas, bunga javob shu kabi bilimlarni topishga imkon beradi. Agar bizda avtomobilning tezligiga qarab yonilg'i sarfini tavsiflovchi funktsiya mavjud bo'lsa, biz qaysi parametrlarda oxirgi benzin sarfi eng kam bo'lishini hisoblashimiz mumkin.Tibbiyotda siz inson tanasi shifokor tomonidan tayinlangan dori-darmonlarga qanday ta'sir qilishini taxmin qilishingiz mumkin. Preparatni qabul qilish turli xil fiziologik ko'rsatkichlarga ta'sir qiladi. Bularga qon bosimi, yurak urish tezligi, tana harorati va boshqalar o'zgarishi kiradi. Ularning barchasi qabul qilingan dori dozasiga bog'liq. Ushbu hisob-kitoblar bemorning tanasidagi o'zgarishlarga o'limga ta'sir qilishi mumkin bo'lgan qulay ko'rinishlarda ham, istalmagan baxtsiz hodisalarda ham davolanish kursini taxmin qilishga yordam beradi.Shubhasiz, texnik masalalarda, xususan elektrotexnika, elektronika, dizayn va qurilish sohalarida lotinning fizik ma'nosini tushunish muhimdir.

Tormoz masofalari

Keling, keyingi vazifani ko'rib chiqaylik. Doimiy tezlikda harakatlanib, ko'prikka yaqinlashib kelayotgan mashina, kirishdan 10 soniya oldin tormozlashi kerak edi, chunki haydovchi 36 km / s dan ortiq tezlikda harakatlanishni taqiqlovchi yo'l belgisini payqadi. Tormozlanish masofasini S = 26t - t 2 formulasi bilan tavsiflash mumkin bo'lsa, haydovchi qoidalarni buzdimi?

Birinchi hosilani hisoblagandan so'ng, tezlik formulasini topamiz, v = 28 - 2t olamiz. Keyinchalik, biz t = 10 qiymatini belgilangan ifodaga almashtiramiz. Ushbu qiymat bir necha soniyada ifodalanganligi sababli, tezlik 8 m / s ni tashkil etadi, bu 28,8 km / soatni anglatadi. Bu haydovchining o'z vaqtida tormozlashni boshlaganini va yo'l harakati qoidalarini buzmaganligini va shu sababli belgida ko'rsatilgan tezlik chegarasini tushunishga imkon beradi. Bu hosilaning fizik ma'nosi muhimligini isbotlaydi. Ushbu muammoni hal qilishning misoli ushbu kontseptsiyadan hayotning turli sohalarida foydalanishning kengligini namoyish etadi. Kundalik vaziyatlarda.

19-asrga qadar iqtisodchilar asosan mehnat unumdorligi yoki mahsulot narxi bo'lsin o'rtacha qiymatlar asosida ishladilar. Ammo biron bir vaqtdan boshlab ushbu sohada samarali prognozlar qilish uchun chegara qiymatlari zarur bo'lib qoldi. Bularga marginal foyda, daromad yoki xarajatlar kiradi. Buni tushunish iqtisodiy tadqiqotlarda yuz yildan oshiq vaqt davomida mavjud bo'lgan va rivojlanib kelgan mutlaqo yangi vositani yaratishga turtki berdi. Minimal va maksimal kabi tushunchalar ustun bo'lgan bunday hisob-kitoblarni tuzish uchun lotinning geometrik va jismoniy ma'nosini tushunish kifoya. Ushbu fanlarning nazariy asoslarini yaratuvchilar qatoriga ingliz va avstriyalik taniqli iqtisodchilarni US Jevons, K.Menger va boshqalarni kiritish mumkin. Albatta, iqtisodiy hisob-kitoblarda chegara qiymatlaridan foydalanish har doim ham qulay emas. Va, masalan, choraklik hisobotlar mavjud sxemaga to'g'ri kelmasligi shart, ammo shunga qaramay, bunday nazariyani ko'p hollarda qo'llash foydali va samarali bo'lishi mumkin.

Darsning maqsadi:

Talabalar bilishlari kerak:

to'g'ri chiziqning qiyaligi deyiladi;

to'g'ri chiziq va Ox o'qi orasidagi burchak;

hosilaning geometrik ma'nosi nimada;

funktsiya grafigiga tekstansiya tenglamasi;

parabola uchun tangensni qurish usuli;

nazariy bilimlarni amalda qo'llay olish.

3.Hosilaning mеxanik ma'nosi nimadan iborat?

Mod di y M nu qt a y= f( t ) qo nu n b o’ yi c ha t o’ g’ r i chi zi q bo’ yl a b harakatlansin.

Moddiy nuqta boshlang’ich holatda 0 nuqtada bo’lib, t o momentda esa Mo holatni olib,

y o=f(t o) masofani bossin.t=t0+ t momentda esa M1 holatni olib, bosib o’tgan yo’li

y=f(t1)=f(to+ t) bo’ladi. t vaqtda bosib o’tgan yo’li esa y=f( to+ t)-f(to) bo’ladi.

t

y





nisbat moddiy nuqtaning t vaqtdagi o’rtacha tezligi deyiladi.

v= lim

t 0 t

y





— moddiy nuqtaning t momentdagi tezligini beradi. lim

t 0 t

y





=u'.

f(tº) y f(t1)]

0 M0 t M11 t

Demak, hosilaning mexanik ma'nosi harakatlanayotgan moddiy nuqtaning ma’lum

momentdagi tezligini ifodalar ekan.