Funktsiya limiti. Funktsiya limitining asosiy xossalari. Aniqmasliklar va ularni ochish

Elementar funktsiyalarning hammasi o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdir.
va funktsiyalar nuqtada uzluksiz bo’lsa:
1) 2) ; 3) bo’lganda) lar ham nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Kesmada uzluksiz funktsiyaning xossalari. funktsiya kesmada uzluksiz bo’lsa, u: 1) shu kesmada chegaralangan; 2) shu kesmada eng kichik va eng katta qiymatlarga erishadi; 3) kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilsa, shu kesmaning biror nuqtasida 0 ga teng bo’ladi; 4) va orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
va funktsiyalar o’z argumentlarining uzluksiz funktsiyalari bo’lsa, murakkab funktsiya ham uzluksiz bo’ladi. uzluksiz bo’lib, teskari funktsiya mavjud bo’lsa, u ham uzluksizdir.
3. Funktsiyaning uzilish va uning turlari
Ta’rif. funktsiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan, lekin bu nuqtaning o’zida uzluksizlik shartlaridan birortasi bajarilmasa, funktsiya nuqtada uzilishga ega deyiladi.
funktsiya uchun
, chekli limitlar mavjud bo’lsa, chap va o’ng limitlar hamda sonlar o’zaro teng bo’lmasa, nuqta 1-tur uzilish nuqtasi deyiladi.
Xususan, bo’lsa bartaraf qilinadigan (yo’qotiladigan) uzilish nuqtasi deyiladi.
1-tur uzilish nuqtasi bo’lmagan uzilish nuqtalariga 2-tur uzilish nuqtalari deyiladi. Bunday nuqtalarda, aqalli bitta tomonli limit qiymati cheksiz yoki mavjud bo’lmaydi.
1-misol. funktsiya nuqtada 1-tur uzilishga ega ekanligini isbotlang.
Echish. funktsiya nuqtada aniqlanmagan. Absolyut qiymat ta’rifidan yoki va yoki bњlganda mos ravishda

bo’ladi.
Demak, , .
SHunday qilib, nuqta 1-tur uzilish nuqtasi bo’ladi. Bu uzilish nuqtasi bartaraf qilib (yo’qotib) bo’lmaydigan uzilish nuqtasiga kiradi.
2-misol. , funktsiya nuqtada aniqlanmagan,
lekin hamma nuqtalarda aniqlangan.
Bir tomonli limitlar o’zaro teng, ya’ni
.
SHunday qilib, berilgan funktsiya uchun nuqta bartaraf qilinadigan (yo’qotiladigan) uzilish nuqtasi bo’ladi.
3-misol. funktsiyaning nuqtada uzilishga ega ekanligini ko’rsating:
Echish. Berilgan funktsiya nuqtadan boshqa hamma nuqtalarda aniqlangan. bo’lganda va bo’lganda ham .
va .
Bu 2-tur uzilishdir .