Funksiyaning uzluksizligi va uzluksizlikslikdan foydalanib limitlarni hisoblash

Bir tomonli limitlar.

Ta’rif. Agar ixtiyoriy (a- ; a) intervalda X to’plamning kamida bitta (cheksiz ko’p) nuqtalari bo’lsa, a nuqta X to’plamning chap limit nuqtasi deyiladi.

Ta’rif. Agar ixtiyoriy (a; a+ ) intervalda X to’plamning kamida bitta (cheksiz ko’p) elementlari mavjud bo’lsa, a nuqta X to’plamning o’ng limit nuqtasi deyiladi.

y=f(x) funksiya X to’plamda berilgan bo’lib, a X to’plamning o’ng (chap) limit nuqtasi bo’lsin.

Ta’rif (Geyne). Agar X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan va har bir hadi a dan katta (kichik) bo’lib, a ga intiluvchi har qanday (x_n) ketma-ketlik olganimizda ham mos (f(x_n)) ketma-ketlik hamma vaqt yagona b ga intilsa, b soni f(x) funksiyaning a nuqtadagi o’ng (chap) limiti deb ataladi.

Funksiyaning o’ng limiti f(x)=b yoki f(a+0)=b, chap limiti esa f(x)=b yoki f(a -0)=b orqali belgilanadi.

Misol. f(x)=[x] - x ning butun qismi. a=1 bo’lsin. 0<x_n<1 deb olsak, u holda f(x_n)=[x_n]=0.

1< x_n <2 bo’lsa, f(x_n)=[x_n]=1 bo’ladi.

f(x)= 1=1, f(1+0)=1 ; f(x)= 0=0, f(1-0)=0

Ta’rif. (Koshi) Agar har bir >0 son uchun shunday >0 topilib, x ning a (a- tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida | f(x)-b|< tengsizlik bajarilsa, b son f(x) funksiya-ning a nuqtadagi o’ng (chap) limiti deb ataladi.

 Maple dasturida f(x), f(x) limitlarni hisoblash uchun mos ravishda

limit(f(x),x=a,right);

limit(f(x),x=a,left);

operatorlar ishlatiladi.

Misol. ;

Bu tenglik Maple yordamida quyidagicha tekshiriladi:

>limit((2+x)^(1/x),x=0,right);

infinity

Misol. .

Bu tenglik Maple yordamida quyidagicha tekshiriladi:

>limit((2+x)^(1/x),x=0,left);

0

a nuqta X to’plamning chap va o’ng limit nuqtasi bo’lsin. Ushbu teoremaning o’rinli ekanligini sezish qiyin emas.

Teorema f(x) funksiya a nuqtada limitga ega bo’lishligi uchun shu nuqtada chap va o’ng limitlarning mavjud bo’lib, f(a-0)= f(a+0) tenglik o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
Teorema. (limitning yagonaligi haqida ). Agar f(x) funksiya x a da limitga ega bo’lsa, bu limit yagona bo’ladi.

Isboti ketma-ketlikdagi kabi ko’rsatiladi.

Teorema . Agar va bo’lsa, u holda

a)

b)

c)

Bu xossalarning isboti limitning Geyne ta’rifi hamda yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning arifmetik xossalaridan bevosita kelib chiqadi.

Misollar.

 1. ;

Bu tenglik Maple yordamida quyidagicha tekshiriladi:

>limit((x^2-2*x+1)/(x^3-x),x=1);

0