Funksiyaning uzluksizligi Reja: funksiyaning uzluksizligi. Uzilish nuqtalari va ularning turlari

ta’rif. funksiyaning o’ng va chap limitlari x0 da mavjud va o’zaro teng bo’lsa, y= f(x) x0 da uzluksiz deb ataladi.

Bu ta’rifdan ko’rinadiki:

1) y=f(x) x0 da va uning atrofida aniqlangan,

2) f(x0-0)= f(x0+0);

3) bu umumiy limit funksiyaning x0 dagi limitiga teng.

Ushbu davo buning natijasidir.

Agar funksiya x0 da uzluksiz bo’lsa, u holda bu x0 nuqtada limit va funksiya belgilarini almashtirish mumkun.

Bir tomonlama uzluksizlik.

ta’rif. Agar y=f(x) (a,x0] da aniqlangan va

bo’lsa, bu funksiya x0 da chapdan uzluksiz deb ataladi.

ta’rif. Agar y=f(x) [x0 , b) oraliqda aniqlangan va

bo’lsa bu funksiya x0 da o’ngdan uzluksiz deb ataladi.

4. Nuqtada uzluksiz funksiyalarning xossalari.

1) Yig’indining uzluksizligi

• Ko’paytmaning uzluksizligi

3) Bo’linmaning uzluksizligi

4) Murakkab funksiyaning limiti va uzluksizligi

Nuqtada uzluksiz funksiyalarning xossalari.

1). Yig’indining uzluksizligi.

teorema. Agar f(x) va g(x) lar x0 da uzluksiz bo’lsa, u holda f(x) ± g(x) funksiya ham x0 nuqtada uzluksiz funksiyadir.

Ya’ni

2). Ko’paytmaning uzluksizligi.

2-teorema. Agar f(x) va g(x) lar x0 da uzluksiz bo’lsa, u holda f(x)* g(x) ko’paytma ham x0 nuqtada uzluksiz funksiyadir.

Bo’linmaning uzluksizligi.

teorema. Agar f(x) va g(x) lar x0 da uzluksiz bolib, g(x0 )≠0 bo’lsa, u holda f(x)/g(x) bo’linma ham x0 da uzluksiz funksiyadir, ya’ni

5. Murakkab funksiyaning limiti va uzluksizligi

4-teorema. Agar va limitlar mavjud bo’lsa, u xolda x0da f[(g)]murakkab funksiya mavjud, shu bilan birga

Uzilish nuqtalar va ularning turlari.

ta’rif. Agar x0 da y=f(x) uchun quydagi shartlardan kamida bittasi bajarilsa, x0 f(x) ning uzulish nuqtasi, funksiyaning o’zi esa uzlukli funksiya deb ataladi:

1) funksiya x0 da aniqlanmagan;

2) funksiya x0 da aniqlangan, lekin f(x0-0) va f(x0+0) bir tomonlama limitlardan kamida bittasi mavjud emas;

3) funksiya x0 da aniqlangan, bir tomonlama limitlar mavjud, lekin f(x0 - 0) ≠ f(x0 + 0);

4) f(x0 - 0)= f(x0 + 0) ≠ f( x0 ) .

Yo’qotilgan (chetlatilgan) uzilish.

ta’rif. x0 da y = f(x) aniqlanmagan, biroq bir tomonlama limitlar mavud va o’zaro teng, ya’ni f(x0-0) = f(x0+0) bo’lsa, x0 yo’qotiladigan uzilish nuqtasi deb ataladi.

funksiyaning bu nuqtadagi qiymati sifatida bir tomonlama limitlarning ko’paytmalarini oladigan bo’lsak, funksiyani shu nuqtada yangidan aniqlab,

uzulishni yo’qotamiz.

Birinchi tur uzilish nuqtasi.

ta’rif. Agar funksiya x0 da aniqlangan yoki aniqlanmagan, lekin bir tomonlama limitlar mavjud va o’zaro teng bo’lmasa, ya’ni

f(x0 - 0) ≠ f(x0 +0) bo‘lsa, bu x0 birinchi tur uzilish nuqtasi deb ataladi.

h = f(x0 - 0)- f(x0 +0) son funksiyaning x0 dagi sakrashi deb ataladi

ya’niva

Demak, – birinchituruzilishnuqtasi (shakil).

 

shakl

misol. funksiya x=0 nuqtada aniqlanmagan.

Ikkinchi tur uzilish nuqtasi.

ta’rif. Agar x0 bir tomonlama limitlardan kamida bittasi mavjud emas yoki cheksizlikka teng bo’lsa, x0 ikkinchi tur uzilish nuqtasi deb ataladi.

misol. x=1 da mavjud emas

Demak, x=1 - ikkinchi tur uzilish nuqtasi.