Funksiyaning qavariqligi va botiqligi. Funksiyaning egilish nuqtalari. Funksiya grafigining asimptotalari. Reja

2. Funksiya grafigining asimptotalari
Egri chiziqning asimptotasi deb shunday to‘g‘ri chiziqqa aytiladiki, egri chiziqda yotuvchi  nuqta egri chiziq bo‘ylab harakat qilib koordinata boshidan chеksiz uzoqlashgani sari  nuqtadan bu to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa nolga intiladi. B unda  nuqta asimptotaga juda yaqinlashib boradi, lеkin uni kеsib o‘tmaydi.

Uch turdagi, ya’ni vertikal, gorizontal va og‘ma asimptotalar mavjud.

Agar   yoki   limitlardan hech bo‘lmaganda bittasi cheksiz
(  yoki ) bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining vertikal asimptotasi deyiladi.
Masalan, funksiya grafigi uchun  to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota, chunki  va  .
Agar shunday  va sonlari mavjud bo‘lib,  da  funksiya

ko‘rinishda ifodalansa  to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining og‘ma asimptotasi deyiladi.


8-teorema.   funksiya grafigi  og‘ma asimptotaga ega bo‘lishi uchun
,
bo‘lishi zarur va etarli.
Isboti. Zarurligi.  funksiya grafigi  og‘ma asimptotaga ega bo‘lsin. U holda og‘ma asiimptotaning ta‘rifiga ko‘ra  bo‘ladi. Bundan
,
kelib сhiqadi.
Yetarliligi.  ,   bo‘lsin. 
U holda  dan  kelib сhiqadi. Demak,  da   bo‘ladi. Bu esa  to‘g‘ri chiziq  funksiya grafigining asimptotasi ekanini bildiradi.
Agar  ,   limitlardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmasa yoki cheksiz bo‘lsa,  funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega bo‘lmaydi.
Agarr  bo‘lsa,   bo‘ladi. Bunda   to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining gorizontal asimptotasi deyiladi.
Izoh.  funksiya grafigining asimptotalari  da va  da har xil bo‘lishi mumkin. Shu sababli  ,  limitlarni
aniqlashda  va  hollarini alohida qarash lozim.
Misol
funksiya grafigining asimptotalarini topamiz.
.
Demak,   to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota.
,
,
Bundan  . Demak, to‘g‘ri chiziq og‘ma asimptota.