Funksiyaning nuqtada gradiyenti va uning uzunligini toping

23-amaliy mashg‘ulot. Kо‘pо‘zgaruvchilifunksiyaekstremumi
23.1.a) u=xy²z³ funksiyaning nuqtada gradiyenti va uning uzunligini toping.
Yechish.
Buning uchun berilgan funksiya xususiy hosilalarini topamiz:




b) nuqtada.
Yechish.

Quyidagi funksiyalarning nuqtalardagi gradiyenti va uning uzunligini toping:

23.2. , (2; 1) da
23.3. da
23.4. , (1; 2; 1) da
23.5. da

Quyidagi funksiyalarning ekstremum nuqtalarini toping:

23.6. funksiyaning ekstremumini tekshiring.
Yechish. Birinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz: ular

bо‘ladi. Ekstremumga ega bо‘lishining zaruriy sharti ga asosan sistema hosil bо‘ladi. Bu tenglamalar sistemasidan kritik nuqtalarni topamiz. Xususiy hosilalar mavjud bо‘lmagan nuqtalar yо‘q.
Ikkinchi tartibli xususiy hosilalar

bо‘ladi. Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarning nuqtadagi qiymatlarini topib ekstremumga ega bо‘lishining yetarli shartini tekshiramiz:


,
oxirgi tengsizlikdan kо‘rinadiki, ikki о‘zgaruvchili funksiya ekstremumining yetarli shartiga asosan: nuqtada ekstemum yо‘q.
Endi ikkinchi kritik nuqtani tekshiramiz:

bо‘lib, bо‘lganligi uchun nuqtada berilgan funksiya ekstremumga ega bо‘lishining yetarli shartigaasosan, maksimumgaega bо‘ladi.
Shunday qilib, berilgan funksiya nuqtada ekstremumga ega emas. nuqatada funksiya maksimumga ega bо‘lib,

bо‘ladi.
23.7.
23.8.
23.9.
23.10.