Funksiyalarning integrallash jadvali. O`Zgaruvchini

Misollar. 1-misol 
sifatida 14-formulani ko’raylik
1. ∫x
n
dx=
)
1
(
1
1





n
C
n
x
n
2. ∫
C
x
n
x
dx


1
3. ∫e
x
dx =e
x
+C 
4. ∫a
x
dx = 
C
na
a
x

1
5. ∫
C
x
cos
xdx
sin



6. ∫
C
sinx 
xdx
cos


7. ∫
C
tgx
x
cos
dx
2


8. ∫
C
-ctgx
x
sin
dx
2


9. ∫
C
|
cosx
|
-1n
tgxdx


10. ∫ctgxdx 
=
1n|sinx|+C 
11. ∫
C
-arctgx
x
1
dx
2



12. ∫
c
a
x
arctg
a
1
x
a
dx
2
2



13. ∫
C
x
a
x
a
1n
2x
1
x
a
dx
2
2





14. ∫
C
a
x
a
x
1n
2a
1
a
x
dx
2
2





15. ∫
C
arcsinx
x
1
dx
2



16. ∫
C
a
x
arcsin
x
a
dx
2
2



17. ∫
C
a
x
x
1n
a
x
dx
2
2
2
2





a, c –lar ixtiyoriy o’zgarmas sonlar. 

---

2
2
2
a
x
1
a)
(x
a
x
a
x
a
x
a
x
2a
1
C
a
x
a
x
1n
2a
1




















2-misol. 
∫(2x
3
+5
x
)
C
x
x
3
10
x
2
1
dx
4



3-
misol.
∫
C
6
3x
1n
3
1
6
3x
dx




4-
misol.
∫cos10xdx=
C
sin10x
10
1

4. 
Bevosita integrallash usuli.
 
Aniqmas integralni bevosita integrallar jadvalidan va aniqmas integralning 
xossalaridan foydalanib integrallashga bevosita integrallash usu li deyiladi.Ba'zi hollarda 
integral ostidagi funksiyani iloji boricha yig’indiga yoyib so’ngra bevosita integrallash 
maqsadga muvofiq bo’ladi.
1-misol. 
C
arctgx
|
x
|
61nx
7sinx
x
3x
1
x
dx
x
dx
6
7cosxdx
dx
x
4
-
dx
3
dx
1
x
1
x
6
7cosx
4x
3
4
2
3
2
3



























2-misol. 
∫(x
2
- 2x)
2
dx = ∫ (x
4
- 4x
3
+ 4x
2
)dx = ∫ x
4
dx - 4∫ x
3
dx + 4∫ x
2
dx =
C
x
3
4
x
5
x
3
4
5



5. Differensial belgisi ostiga kiritib integrallash 
Differensial belgisi ostiga kiritib integrallash usuli esa integral ostidagi ifodani 
almashtirishdan iboratdir.
1-misol. 
∫e
sinx
cosxdx = | cosxdx = d(sinx) , desak| = ∫e
sinx
• d(sinx) = e
sinx
+ C
2-misol. 
∫sin
8
xcosxdx =|cosxdx = d(sinx) | = ∫sin
8
xd(sinx) = 
9
1
sin
9
x + C 
3-misol. 
∫e
arctgx
C
e
d(arctgx)
e
d(arctgx)
x
1
dx
x
1
dx
arctgx
arctgx
2
2









4-misol.
∫
C
e
2
1
)
d(x
e
2
1
)
d(x
2
1
xdx
dx
xe
2
2
2
x
2
x
2
x






5-misol. 
C
|
5
x
|
1n
5
x
5)
d(x
5
x
dx









 
6. Aniqmas integralda o’zgaruvchilami alnashtirib integrallash. 
Integrallar jadvaliga kirmagan ∫f(x)dx integralni hisoblash uchun, ya'ni f(x) funksiyaning 
boshlang’ich funksiyasini topish uchun x = φ(t) (1) almashtirish bajarib, φ(t)funksiyani 
uzluksiz va uzluksiz φ'(t) hosilaga ega hamda unga teskari bo’lgan t = ψ(x) funksiya 
mavjud deb faraz qilamiz.
Bu holda (1) dan dx = φ'(t)dt ekanligini e'tiborga olsak berilgan integral
∫f(x)dx = ∫f [φ (t)]φ'(t) dt 
(2)
ko’rinishda bo’ladi. (2) ga aniqmas integralda o’zgaruvchini almashtirish formulasi 
deyiladi.
Bu yerda φ(t) ni shunday tanlash kerakki natijada (2) ning o’ng tomonidagi integral chap 
tomonidagi integraldan soddaroq bo’lsin. Aniqmas integralni o’zgaruvchilarni almashtirib 
integrallaganda chiqqan natijada yangi o’zgaruvchidan dastlabki o’zgaruvchiga qaytish 
shart.
1-misol.
∫
C
x
1
1n
2
1
C
1nt
2
1
dt
dt
2
1
2xdx
dt
x
1
t
x
1
xdx
2
2
2












 

---

2-misol. 
C
4
sin2t
R
t
2
R
dt]
cos2t
[t
2
R
dt
2
cos2t
1
R
tdt
cos
R
Rcost
x
R
d
Rcost
dx
Rsint
x
dx
x
R
J
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2




















Eski o’zgaruvchi x ga qaytsak x 
= 
R sint 

R
x
= sint
 

t = arcsin
R
x
.
2
arcsin
2
.
2
)
cos
)(
sin
(
2
2
sin
2
2
2
2
2
2
C
x
R
x
R
x
R
J
x
R
x
t
R
t
R
t
R







Mavzuni mustahkamlash uchun savollar: 
1. 
.Boshlang’ich funksiya nima? Misollar bilan tushuntiring. 
2. Qanday funksiyalarning boshlang’ich funksiyasi mavjud? 
3. Qanday hollarda funksiyalar bir-biridan o’zgarmas songa farq qiladi? 
4. Berilgan funksiyaning boshlang’ich funksiyasi yagona bo’ladimi? 
5. Aniqmas integral qanday ta’riflanadi? 
6. Integrallashning qanday usullarini bilasiz? 
7. Differensial ostiga kiritib integrallash. 
8. O’zgaruvchilarni almashtirish uslubining mohiyati nimada? 
9. Bo’laklab integrallashning ma’nosini qanday tushunasiz?